«Мінімальна» теорія інтуїтивістського типу?

Я здивований, що люди продовжують додавати нові типи в теорії типів, але, здається, ніхто не згадує про мінімальну теорію (або я не можу її знайти). Я думав, що математики люблять мінімальні речі, чи не так?

Якщо я правильно розумію, в теорії типів з непередбачуваною Prop λ-абстракціями та Π-типами достатньо. Якщо говорити достатньо, я маю на увазі, що його можна використовувати як логіку інтуїтивізму. Інші типи можна визначити наступним чином:

⊥ \overset{d e f}{=} Π α : П r о p . α \neg А \overset{г е f}{=} А \to ⊥ А \land Б \overset{г е f}{=} Π С : П r о p . (А \to Б \to С) \to С А \lor Б \overset{г е f}{=} Π С : П r о p . (А \to С) \to (Б \to С) \to С \exists_{х : S} (П (х)) \overset{г е f}{=} Π α : П r о p . (Π х : S . П х \to α) \to α

$\bot \stackrel{def}{=} \Pi \alpha: Prop. \alpha \\ \neg A \stackrel{def}{=} A \to \bot \\ A \land B \stackrel{def}{=} \Pi C: Prop. (A \to B \to C) \to C \\ A \lor B \stackrel{def}{=} \Pi C: Prop. (A \to C) \to (B \to C) \to C \\ \exists_{x: S}(P(x)) \stackrel{def}{=} \Pi \alpha: Prop. (\Pi x: S. P x \to \alpha) \to \alpha \\$

Перше моє запитання: чи (λ , Π) справді вистачає? Друге моє запитання: що ми потребуємо мінімально, якщо у нас немає непередбачуваності Prop, як, наприклад, в MLTT? У MLTT, Church / Scott / будь-яке кодування не працює.

Редагувати: пов’язано

type-theory dependent-types

— 盛安安
джерело

Що б "мінімальний" тип відповідав. які властивості він би мав, на вашу думку?

— Рафаель

Вміти довести те, що може довести Кок? Зізнаюся, я не маю однозначної відповіді на думку D:

— 盛安安

Але я чув, що Кок додав всесвітнього поліморфізму, для чого запропонована я мінімальна система, очевидно, не працює. Що щодо "Вміти довести те, що може довести MLTT (у нормальному розумінні)." Я думав, що W-типи можна імітувати? Хоча я взагалі не обертав голову навколо цього.

— 盛安安

Зачекайте, здається, що з непередбачуваністю Propнам навіть рівність не потрібна.

— 盛安安

Відповіді:

Для детальних роз'яснень Галла, теорія типів з непередбачуваною опорою та залежними типами може розглядатися як деяка підсистема обчислення конструкцій, як правило, близька до теорії типів Церкви . Зв'язок між теорією типу Церкви та Кок не є таким простим, але був досліджений, зокрема, чудовою статтею Жевера .

Однак для більшості цілей системи можна вважати рівнозначними. Тоді дійсно можна обійтись дуже мало, зокрема, якщо вас не цікавить класична логіка, тоді єдине, що вам дійсно потрібно, - це аксіома нескінченності : в CoC не можна довести, що будь-які типи мають більше 1 елемента! Але лише аксіомою, що виражає, що деякий тип нескінченний, скажімо, тип натуральних чисел з принципом індукції та аксіомою $0\neq 1$ , ви можете дістатись далеко: більшість студентів з математики можна формалізувати в цій системі (начебто, це важко робити деякі речі без виключеного середини).

Без непередбачуваного підпору вам потрібно трохи більше попрацювати. Як зазначається в коментарях, розширена система (система з функціональною експансіональністю у відношенні рівності) може лише за допомогою і -типів, , порожніх і одиничних типів і , W-типів. У інтенсивних умовах це неможливо: потрібно ще багато індуктивних факторів. Зауважте, що для створення корисних W-типів вам потрібно вміти створювати типи, усуваючи над як: $\Sigma$ $\Pi$ $\mathrm{Bool}$ $\bot$ $\top$ $\mathrm{Bool}$

i f b t h e n ⊤ e l s e ⊥

$\mathrm{if}\ b\ \mathrm{then}\ \top\ \mathrm{else}\ \bot$

Для метаматематики вам, мабуть, знадобиться принаймні один Всесвіт (скажімо, для побудови моделі арифметики Хейтінга).

$\Pi\Sigma$ . Це не цілком задоволення, оскільки перевірка позитивності, необхідна для послідовності, не є частиною системи "як є". Мета-теорію ще потрібно також уточнити.

Корисним оглядом є стаття Чи зламати ZF? від Freek Wiedijk, який фактично порівнює тверді числа у всіх цих системах (кількість правил і аксіоми).

— коді
джерело

Σ

$\Sigma$

Насправді ні, я вважаю, що вам потрібно прийняти і їх. Моя помилка.

— коді

Проблема кодування Церкви полягає в тому, що ви не можете отримати принципи спонукання для своїх типів, що означає, що вони доволі марні, якщо мова йде про доведення тверджень про них.

З точки зору мінімальності системи, одним із шляхів, зазначеним у коментарях, є використання контейнерів та (W / M) -типів, проте вони є досить розширеними тому це не дуже зручно для роботи в таких системах, як Coq або Agda.

$\Pi$ $\Sigma$ $\mu$ $\nu$

$\mu$ $\nu$

— галаї
джерело