Мова в NSPACE (O (n)) і, швидше за все, не в DSPACE (O (n))

Насправді я виявив, що набір контекстно-чутливих мов, $\mathbf{CSL}$ ($\mathbf{=NSPACE(O(n)) = LBA}$ прийняті мови) не так широко обговорюються, як $\mathbf{REG}$ (звичайні мови) або $\mathbf{CFL}$(без контекстних мов). А також відкрита проблема$\mathbf{DSPACE(O(n))} =^{?} \mathbf{NSPACE(O(n))}$ не так відома, як "аналогічна" проблема: "$\mathbf{P} =^{?} \mathbf{NP}$".

Ну, чи є насправді така аналогія:?

1. Чи є мова в $\mathbf{CSL}$ які не могли бути доведені в $\mathbf{DSPACE(O(n))}$ (подібно до $\mathbf{NP}$ повні мови)?
2. Більше того: чи є мова $L$ в $\mathbf{CSL}$ що є "повним" у такому значенні: якщо ми можемо це довести $L$ є в $\mathbf{DSPACE(O(n))}$ ми це отримуємо $\mathbf{DSPACE(O(n)) = NSPACE(O(n))}$?
3. (Можливо, лише питання думки) Чи обидві проблеми однакового рівня складності?

Більш відомою версією цих питань є $\mathsf{L} \stackrel?= \mathsf{NL}$питання. Якщо$\mathsf{L} = \mathsf{NL}$ то (дещо складний) аргумент прокладки показує це $\mathsf{DSPACE}(n) = \mathsf{NSPACE}(n)$, і так $\mathsf{DSPACE}(n) \neq \mathsf{NSPACE}(n)$ Має на увазі загальновідому гіпотезу $\mathsf{L} \neq \mathsf{NL}$.

Гіпотеза $\mathsf{L} \neq \mathsf{NL}$ вважається (деякими) більш доступним, ніж гіпотеза $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$. Я не впевнений, що багато людей мають думку щодо припущення$\mathsf{DSPACE}(n) \neq \mathsf{NSPACE}(n)$.

Більша картина тут - чи теорема Савича , яка стверджує це$\mathsf{NSPACE}(t(n)) \subseteq \mathsf{DSPACE}(t(n)^2)$ для розумного $t(n) \geq \log n$, щільно. Поки$\mathsf{NPSPACE} = \mathsf{PSPACE}$, Я думаю, що більшість людей у ​​це вірить $\mathsf{NSPACE}(n^k) \neq \mathsf{DSPACE}(n^k)$. З іншого боку, я не впевнений, що люди вірять у це$t(n)^2$- оптимальне продування; можливо, менший показник також працює, принаймні в деяких випадках. Див., Наприклад, недавній документ arXiv , «Параметризована просторова складність моделювання перевірки обмеженої змінної логіки першого порядку : Yijia Chen, Michael Elberfeld та Moritz Müller.

1. Так, у скороченнях DSPACE (O (n)) є цілі мови CSL . В основному все ще варіант спрямованої доступності, який за бажанням може бути обмежений ациклічною досяжністю.
2. Так, див. 1.

3. Ви маєте на увазі, чи є питання DSPACE (O (n)) = ^? NSPACE (O (n)) на тому ж рівні складності, що і питання P = ^? NP ? Ну, у нас є вагомі підстави вважати, що P є суворим підмножиною NP , але я не знаю аналогічно добре відпрацьованих причин вважати, що DSPACE (O (n)) - це сувора підмножина NSPACE (O (n)) . Дозвольте зосередитись на більш легкому питанні$\mathsf{L} \stackrel?= \mathsf{NL}$. Випадкові прогулянки "непогані" для вивчення (щодо доступності) ненаправлених графіків, пов'язаних з SL . Очевидний тривіальний аналогічний випадковий хід по спрямованому графіку погано зазнає невдачі при дослідженні спрямованого графіка (щодо досяжності). Але, можливо, є й інші подібні рандомізовані способи дослідження спрямованого графіка (або шаруватого ациклічного графіка). Виходячи з теореми Савича, я навіть здогадаюся, що існують такі способи, якщо ми готові зберегти мінливий набір$O(\log n)$позиції в межах спрямованого графіка під час випадкового дослідження. І тоді викликом було б зрозуміти, чи економить менше$O(\log n)$ позиції не дозволять добре рандомізоване дослідження.

   Навіть зрозумівши, чи варто вірити $\mathsf{L} \neq \mathsf{NL}$, довести це, ймовірно, буде так само неможливо, як довести $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$. Райан Вільямс наводить одну чітку причину і каже:

   Крім того, я не знаю жодної конкретної причини вважати, що це "важко довести", окрім спостереження, яке намагалися багато людей, і жодного ще не вдалося.

   відповісти Чи ALogTime! = PH важко довести (і невідомо)? Ленс Фортнов в основному поставив це питання і досі не погоджується. Мій власний урок:

   Це означає, що твердження "ALogTime! = PH" - саме те місце, де починаються труднощі для доведення результатів поділу. Можна зазначити, що це твердження насправді еквівалентно "ALogTime! = NP", оскільки "ALogTime = NP" означатиме "P = NP = PH".

Додаючи до інших відповідей, існує проблема скорочуваності та повноти для проблеми CSL проти DCSL, а саме зменшення журналу, і є цілком природні проблеми, пов’язані з CSL. Наприклад, проблема нерівності для регулярних виразів. Ось дуже подібне до вашого питання, а також відповідь, що надає додаткову інформацію та посилання: /cstheory/1905/completeness-and-context-sensitive-languages

$SAT$ є в $NTIME(n) \subseteq DSPACE(n)$. За припущенням о$L = P$, тоді $NP$ суворо міститься в $DSPACE(n)$ оскільки ми можемо перетворити поліноміальне скорочення часу в логарифмічне скорочення простору і $DSPACE(n)$закривається при зменшенні логарифмічного простору. Вони не рівні через теорему ієрархії. Однак коли$L = NL$ тоді $DSPACE(n) = NSPACE(n)$в результаті застосування аргументу прокладки. З тих пір$L = NL$ коли $L = P$ тоді $NP$ суворо міститься в $NSPACE(n)$. Однак,$CSL = NSPACE(n)$ і, таким чином $CSL \neq NP$ і, отже, не могло статися так, що деякі $CSL-complete$ проблема в $NP$ бо це означало б протиріччя із $CSL \neq NP$ що ми отримали після припущення $L = P$.

Крім того, ви могли бачити можливу спробу доведення $L = P$ тут:

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01999029