Параметризована складність підрахунку бікліків

У попередньому запитанні Параметризований алгоритм пошуку бікліків я запитав, чи існують швидкі параметризовані алгоритми для знаходження -biclique в вершинному графіку і дізнався, що він відкритий, якщо це FPT wrt . Те ж саме вірно і для підрахунку в -bicliques, або відомо , що це # -Жорсткий WRT (або який -небудь інший поняття твердості)?$k\times k$$n$$k$$k\times k$$W\[1\]$$k$

Я знаю, що підрахунок індукованих -біблік є # -жорстким, що розширює просте скорочення для знаходження індукованого бікліку в розділі 4.5 у тезі Сержа Гасперса .$k\times k$$W\[1\]$

Це має бути #W [1] - твердий за допомогою аргументу стандартної інтерполяції. Ось приблизний ескіз.

Спочатку розглянемо різнокольорову версію проблеми бікліки: задано графік, набір вершин якого розподілений на класи $X_1,\dots, X_{2k}$, знайдіть бікліку, що містить рівно одну вершину з кожного набору. На відміну від Biclique, статус FPT відкритий, ця різнобарвна версія, як відомо, є W [1] -твердою: є легке скорочення від клаки. Я вважаю, що він також повинен бути #W [1] -твердий.

Дано графік $G$ і, як описано вище, давайте отримаємо новий графік $G'$ шляхом заміни кожної вершини $X_i$ з незалежним набором розмірів $x_i$ (і замінюючи кожен край між $X_i$ і $X_j$ від $x_i\times x_j$біклік). Тепер кількість$k\times k$ бікліки в $G'$ є функцією $2k$ змінні $x_1,\dots,x_{2k}$. Насправді можна побачити, що ця функція є максимум поліномом градусів$2k$ і коефіцієнт терміна $x_1\cdot\dots\cdot x_{2k}$ - це саме кількість різнокольорових біклік в $G$. Таким чином, замінюючи достатньо багато комбінацій значень змінним$x_i$ і підрахунок кількості бікліків в $G'$ми можемо оцінити цей многочлен у достатній кількості місць, щоб відновити його коефіцієнти за допомогою інтерполяції.