Яке зміщення випадкових многочленів з низьким ступенем над GF (2)?

У мене виникає запитання щодо поліномів низької ступеня та ймовірності: Яка (асиптотична поведінка) ймовірність того, що випадковий * многочлен, , над GF (2) зі ступенем та n змінними має .$p$$\le d$$bias(p) \triangleq |\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=0)-\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=1)| \gt \epsilon$

* Коли я пишу випадковий многочлен зі мінливими $\le d$ та n змінними, ви можете придумати кожен одночлен із загальним ступенем $\le d$ вибраний з вірогідністю 1/2.

Єдине, що мені відомо, - це варіант Шварца-Зіппеля, який стверджує, що якщо многочлен непостійний, то його зміщення становить не більше $1-2^{1-d}$ . Отже, для $\epsilon=1-2^{1-d}$ probaiblity рівно $1/{2^{{n \choose 1}+\ldots+{n \choose d}}}$ , де це ймовірність того, що $p$ є константа. На жаль, цей $\epsilon$ досить великий.

Папір "Випадкові поліноми низького ступеня важко піддаються оцінці" від Ben-Eliezer, Hod та Lovett відповідає на ваше запитання. Вони демонструють міцні межі у співвідношенні випадкових многочленів ступеня з поліномами ступеня максимум , аналізуючи зміщення випадкових многочленів. Дивіться їх лему 2: зміщення випадкового многочлена ступеня (до деякого що є лінійним у ), є щонайбільше , за винятком імовірності .$d$$d-1$$d$$d$$n$$2^{-\Omega(n / d)}$$2^{-\Omega\Big(\binom{n}{\le d}\Big)}$

Ваше запитання еквівалентне межі хвоста щодо розподілу ваги кодів Рід-Мюллер. Розуміння розподілу ваги кодів Рід-Мюллера - це давнє і складне питання в теорії кодування, і про нього відомо кілька цікавих результатів (розподіл ваги повністю зрозуміло лише для і ). Як чудовий вихідний пункт, див. "Розподіл ваги та розшифровка списку розмірів кодів Рід-Мюллера" Талі Кауфмана, Шашара Ловтта, Елі Порат та посилання на них.$d=1$$d=2$