Нижні межі ланцюга і складність колмогорова

Розглянемо наступні міркування:

Нехай $K(x)$ позначає складність Колмогорова рядка $x$ . Теорема про незавершеність Хайтіна говорить про це

для будь-якої послідовної і досить сильною формальної системи $S$ , існує постійна $T$ ( в залежності тільки від формальної системи та її мови), що для будь-якого рядка $x$ , $S$ не може довести , що $K(x) \geq T$ .

Нехай - булева функція на змінних, тоді як складність його спектра Колмогорова становить не більше . Нехай - складність ланцюга , тобто розмір мінімальної обчислювальної ланцюга . $f_n$ $n$ $k$ $S(f_n)$ $f_n$ $f_n$

Верхня межа (груба) для - для постійної а - функція зайнятого бобра (максимально можливі кроки a зупинка машини Тьюрінга з описом розміру може виконати). (Для кожного у спектрі побудуйте мінтер відповідного призначення істини та візьміть АБО всі ці мінтерми разом.) $S(f_n)$

S (f_{n}) \leq c \cdot B B (k) \cdot n

$S(f_n)\leq c\cdot BB(k) \cdot n$

c

$c$

B B (k)

$BB(k)$

k

$k$

1

$1$

Припустимо, тепер для нескінченного сімейства булевих функцій ми маємо формальне підтвердження того, що потрібні схеми надлінійного розміру, тобто $L = \{f_n\}_{n}$ $L$

де .

S ⊢ \forall n \geq n_{0}, g (n) \cdot n \leq S (f_{n})

$S \vdash \forall n \geq n_0, \ g(n)\cdot n \leq S(f_n)$

g (n) \in ω (1)

$g(n)\in \omega(1)$

Якщо брати досить великим, матимемо $n$

g (n) > c \cdot B B (T)

$g(n) > c\cdot BB(T)$

Зокрема, це було б доказом того, що складність Колмогорова спектра становить щонайменше , що неможливо. $f_n$ $T$

Це призводить до двох питань:

1) У вищенаведених міркуваннях має бути щось не так. Головним чином, тому, що це дозволило б зробити нижню межу надлінійної схеми недосяжною.

2) Чи знаєте ви про подібні підходи, щоб показати бар'єри для нижчих меж, тобто показати, що певні типи (ланцюга) нижніх меж формально недоступні?

— Знайти Магнуса
джерело

цікаві ідеї. дещо пов'язане з доказом razborov / rudich щодо "природних доказів", що накреслює бар'єри для P =? NP (але, ймовірно, також застосовне до інших розділень класу складності, зазначених у прикладі у статті). Чи читали ви цей документ? див. також бар'єри P =? NP та складність ланцюга / монотонна схема . Здається, натякає, що поділи класів складності за структурою схожі на докази невиправданості.

— vzn

Ви можете детальніше розглянути "спектр" f_n? чи є спосіб сформулювати питання, не посилаючись на "спектр"?

— vzn

Мабуть, правда, що можна вивчити складність функцій, вивчивши найменший ТМ [у значенні таблиці стану / станів], який їх обчислює, і що це буде приблизно відповідати нижній межі ланцюга. якщо ви зможете показати, що знайти найменшу ТМ неможливо, а не дуже важко, ви можете там щось мати. проте знайти найменшу ТМ можна просто через канонічне перерахування схем або ТМ. якщо задуматися, чому такий підхід працює, це може допомогти зрозуміти, чому питання не призводить до проблеми.

— vzn

(f (0, 0, . ., 0), f (0, 0, . ., 1), . ., f (1, 1, . ., 1))

$(f(0,0,..,0),f(0,0,..,1),..,f(1,1,..,1))$

$N$ $f_n$ $T$ $N$ $N>g^{-1}(c \cdot BB(T))$ $BB$

— домоторп
джерело

S

$S$

$A(k)$ $K(A(k)) \geq k$ $k$ $K(A(k)) \geq k$

$BB(T)$

$\alpha(k)$ $k$ $\alpha(k)$ $K(0^{\alpha(k)+1}) > k$

— Юваль Фільм
джерело

Чому така ситуація є проблематичною? Ви не дали програму, вихід якої буде A (k), а її довжина буде меншою, ніж k.

— domotorp

B B (k)

$BB(k)$

k

$k$

Проблематично в (мабуть) тому ж сенсі, що і в оригінальному питанні.

— Yuval Filmus

Я досі не розумію. Ви не виставляєте рядок і доказ того, що складність його Колмогорова велика. Ви демонструєте доказ того, що існує струна, складність якої велика.

— Сашо Ніколов

Я вважаю, що вони різні по-різному. Коли я читаю, ви вказуєте на конкретне правдиве твердження, яке не має доказів. Коли я викладаю це у своєму питанні, я зазначу, що це тягне за собою доказ чогось, що не може бути доказовим.

— Магнус знайти