Чи можна використовувати випадкові обмеження для отримання нижньої межі для ?

Є кілька відомих результатів із нижньою межею на основі випадкових обмежень та леми перемикання . $\mathsf{AC^0}$

Чи можемо ми розробити результат перемикаючої леми для доведення розміру нижньої межі для схем (подібно до нижньої межі доказів для )? $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{AC^0}$

Або є якась властива перешкода для використання цього підходу для доведення нижніх меж? $\mathsf{TC^0}$

Чи говорять такі бар'єрні результати, як " Природні докази" , що стосуються використання методів перемикання лемми, щоб довести нижні межі? $\mathsf{TC^0}$

— Джиг
джерело

Чи знайомі ви з доказом переключення леми для ?

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— Каве

Я читав розділ нижньої межі схеми підручника Арори. По-перше, перетворіть будь-яку ланцюг постійної глибини в ланцюг без воріт з перемежуваними шарами І-АБО, а по-друге, використовуючи комутаційний лемм-перемикач цього двошарового, нарешті, ми отримаємо схему вершини, а другий рівень - це ті ж І (або АБО) ворота таким чином ми можемо позбавити cicuit одного шару, покращивши глибину ланцюга.

— Jeigh

Однак спостерігати вихід затвора не просто, ніж булевий випадок, коли ми фіксуємо кілька значень входів (у булевому випадку виправляємо про квадратні кореневі n входи). І ворота, і АБО ворота - це екстремальний варіант воріт порогу і набагато легко спостерігати вплив обмежень.

— Jeigh

Ідея методу випадкових обмежень полягає в тому, що потрапив у випадкове обмеження, стає простішим (насправді постійним) з ненульовою ймовірністю, зберігаючи достатньо вільних змінних. На відміну від воріт та , один ворота потрапив у випадкове обмеження, все одно обчислить ворота на входах меншого розміру і не стане простішим.

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

\land

$\land$

\lor

$\lor$

\mod p

$\mod p$

\mod p

$\mod p$

— Каве

Зауважимо також, що випадкові обмеження та лемма перемикання - один із головних прикладів природних доказів. У будь-якому випадку, сподіваємось, експерт зі складності схеми опублікує більш вичерпну відповідь. ps: Я взяв на себе сміття переписати питання, не соромтесь відкотити, якщо вам не сподобається моя редакція.

— Каве

Відповіді:

Насправді можна використовувати випадкові обмеження для доведення нижчих меж для порогових ланцюгів.

Зокрема, у роботі з компенсацією розміру та глибини для порогових ланцюгів , Імпальяццо, Патурі та Сакса використовуються випадкові обмеження для доведення нижньої межі суперлінера (щодо кількості проводів) для постійних порогових схем глибини, що обчислюють функцію парності.

Що стосується доказування суперполіномальних нижніх меж для схем то так, природна концепція доказування є актуальною, оскільки в існують конструкції генераторів псевдовипадкових функцій . $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{TC}^0$

— Крістофер Арнсфельт Хансен
джерело

Дивіться також нещодавній документ про Даніеля Кейн та Райана Вільямса, суперлінійні ворота та нижній межі суперквадратичного дроту для глибин 2-го та глибинного-3 (STOC 2016).

Райан описує документ так (наступний опис взято з його домашньої сторінки):

Ми даємо явну функцію в для якої кожна більшість лінійних порогових схем (з необмеженими вагами) одночасно потребує приблизно воріт та проводів. Ми також показуємо, що функція Андрєєва (обчислюється схемою більшості на три глибини розміром ) вимагає, щоб приблизно однакові ворота та нижня межа дроту були обчислені лінійними пороговими ланцюгами на дві глибини. Ключовим інструментом є лемма Літтлвуда-Оффорда, яку ми використовуємо для аналізу впливу випадкових обмежень на входи порогових мікросхем. $\mathsf{PP}$ $n^{1.5}$ $n^{2.5}$ $O(n)$

— Юваль Фільм
джерело