Оптимальні жадібні алгоритми для важких проблем NP

Жадібність відсутності кращого слова - це добре. Однією з перших алгоритмічних парадигм, що навчаються на вступному курсі алгоритмів, є жадібний підхід . Жадібний підхід призводить до простого та інтуїтивного алгоритму для багатьох проблем у П. Більш цікаво, що для деяких NP-важких проблем очевидний та природний жадібний / локальний алгоритм призводить до (імовірно) оптимального коефіцієнта наближення (за відповідних теоретичних припущень складності). Класичний приклад - проблема встановлення кришки . Натуральний жадібний алгоритм дає коефіцієнт наближення O (ln n), який є оптимальним, якщо P = NP.

Назвіть деякі природні жадібні / локальні алгоритми для важких задач NP, які, очевидно, оптимальні при відповідних теоретичних припущеннях щодо складності.

Метод умовних очікувань (для дерандомізації алгоритмів "випадкового призначення" для Max-Cut та Max-SAT) можна розглядати як жадібну стратегію: для , ви вибираєте значення змінної x i такої що очікувана кількість обмежень, задоволених у результаті зменшеного екземпляра, перевищує очікувану кількість обмежень, задоволених у поточному екземплярі. (Насправді, жадібний алгоритм 1 / 2 -approximating Max-Cut є такий же , як "метод умовних очікувань" Алгоритм 1 / 2 -approximating Max-Cut.)$i=1,\ldots,n$$x_i$$1/2$$1/2$

Оскільки метод також працює для Max-E3-SAT і досягає -аппроксімаціі, це приклад жодного алгоритму , який є оптимальним наближенням , якщо P = N P (пор Hastad і Moshkovitz-Рац результатів inapproximability для Max -E3-SAT).$7/8$$P=NP$

Вершина обкладинка: Найкращий алгоритм наближення постійного фактора включає (жадібно) пошук максимальної відповідності та вибір усіх вершин, що беруть участь як приблизне рішення. Це дає 2-наближене рішення, і кращого наближення постійного фактора неможливо, якщо Унікальна кон'юнктура гри не є хибною.

Subhash Khot та Oded Regev, покриття Vertex може бути важко наближеним до 2 ε ε , JCSS 74 (3), 2008.

Немає теми: Я думаю, що це дійсно милий алгоритм наближення, тим більше, що він ой так тривіальний з користю заднього огляду.

Давши спрямований графік, знайдіть ациклічний підграф з максимальною кількістю ребер.

Тривіальний алгоритм 2-наближення: Виберіть довільне впорядкування вершин і візьміть або передні ребра, або назад.

Збиття 2-наближення, як відомо, є унікальними іграми важкими (хоча це може бути не важко).

• Перемогти випадковим замовленням важко: Нездатність максимально ациклічного підграфа Венкатесан Гурусвамі, Райсекар Манокаран та Прасад Рагхавендра.

Субмодульна максимізація щодо обмеження кардинальності має жадне наближення 1-1 / е. Алгоритм обумовлений Немгаузером, Волсі, Фішером. Твердість NP випливає з твердості np твердої частини покриття, оскільки макс.

Жадібний дає наближення (1-1 / e) до Max-k-кришки, і це не може бути покращено, якщо P = NP.

Пошук мінімального ступеня MST. Це важко, оскільки пошук гамільтонового шляху є особливим випадком. Локальний алгоритм пошуку входить в аддитивну константу 1.

Довідково

Наближення дерева Штейнера мінімального ступеня до одного з оптимальних

$k$$G = (V,E)$$d_{ij} \geq 0$$i,j \in V$$k$

$k$$S \subseteq V, |S| = k$$k$$k$$k$$r$$r$

$i \in V$$S$$|S| < k$$j \in V$$d(j,S)$$S$$|S| = k$

$2$$k$$\rho$$\rho < 2$$P = NP$$k$$k$$2$

$P|prec|C_{max}$

Умовна твердість обмеженого перекладу прецеденту на ідентичних машинах Ола Свенсон

Можливо, це також зацікавить вас (адаптовано з Методів для перекладу глобальних обмежень на локальні обмеження )

Оскільки жадібні методи (правильніше місцеві методи) використовують лише локальну інформацію для досягнення глобальної оптимізації, якщо знайдені способи, здатні перетворити глобальні умови на умови, які можуть бути використані, використовуючи лише локальну інформацію, це забезпечує (глобально) оптимальне рішення проблем використовуючи лише жадібні / локальні методи.

Список літератури:

1. Мисліть по всьому світу, підходите локально: непідконтрольне навчанню маломірних колективів (Journal of Machine Learning Research 4 (2003))
2. Глобальна оптимізація з використанням локальної інформації з програмами для управління потоком, Bartal, Y.
3. Чому природний градієнт ?, Амарі С., Дуглас СК
4. Локальна оптимізація глобальних цілей: конкурентоспроможне розподілене глухий дозвіл та розподіл ресурсів, Awerbuch, Baruch, Azar, Y.
5. Навчання з локальною та глобальною послідовністю
6. Проблеми задоволеності обмеженнями, що вирішуються методами локальної узгодженості

Існує кілька посилань, які вирішують проблему перекладу функцій глобального оцінювання (або обмежень) на локальні (з використанням місцевої інформації) та їх узгодженості (тобто зближення з тим самим глобальним оптимумом):

1. Локальні функції оцінювання та функції глобальної оцінки для обчислювальної еволюції, ХАН Цзінь, 2003
2. Виникнення з функції місцевої оцінки, Хан Цзін і Цай Кінгшен, 2002

Анотація (з 1. вище)

У цьому документі представлений новий погляд на обчислювальну еволюцію з точки зору локальності та глобальності оціночних функцій для вирішення класичної комбінаторної задачі: проблема колорування (проблема вирішення) та мінімальна задача фарбування (проблема оптимізації). Спочатку ми розглядаємо поточні алгоритми та моделюємо проблему забарвлення як багатоагентну систему. Потім ми показуємо, що суттєва відмінність між традиційними алгоритмами (локальний пошук, такими як модельований відпал) та розподіленими алгоритмами (такими як модель Alife & AER) полягає у функції оцінювання: імітаційний відпал використовує глобальну інформацію для оцінки всього стану системи, що називається метод глобальної функції оцінки (GEF); модель Alife & AER використовує локальну інформацію для оцінки стану одного агента, який називається методом локальної функції оцінки (LEF). Ми порівнюємо ефективність методів LEF та GEF для вирішення задач k-забарвлення та мінімальних проблем із забарвленням. Результати комп'ютерних експериментів показують, що LEF порівняно з методами GEF (імітований відпал та жадібний), у багатьох проблемних випадках LEF перемагає методи GEF. У той же час ми аналізуємо взаємозв’язок між GEF та LEF: послідовність та непослідовність. Теорема узгодженості показує, що рівноваги Неша ННЗ ідентичні місцевим оптимам ГЕФ, коли ЛЕФ узгоджується з ГЕФ. Ця теорема частково пояснює, чому LEF може привести систему до глобальної мети. Запропоновано деякі правила побудови послідовного LEF. Крім консистенції,

Specificaly методи паперових адрес в determnine є локальна функцією (LEF) в відповідно з глобальної функцією (ГЕФ) та методою побудувати послідовний МЕФ з наведених GEFs ( теорема консистенції ).

Витяг із розділу Висновок (з 1. вище)

Ця стаття є лише початком досліджень LEF & GEF. На додаток до вищезгаданого звіту про дослідження ще багато роботи: більше експериментів з методами ЛЕВ; аналітичне дослідження з ЛЕВ; достатність локальної інформації для LEF; і існування послідовного GEF для будь-якого LEF; Чи достатня концепція узгодженості? Оскільки генетичні алгоритми також виконують оціночну функцію (функція фітнесу), чи можемо ми застосувати LEF & GEF до генетичних алгоритмів? … Ми маємо намір вивчити та спробувати відповісти на всі ці питання