Наслідки нижчих меж для

Багатьом тут, напевно, відомо про недавні суперлінійні нижчі межі Алона для -мереж у природній геометричній обстановці [PDF] . Мені хотілося б знати, що, якщо що, така нижня межа передбачає приблизність пов'язаних з ними проблем із набором кришки / натисканням. $\epsilon$

Щоб бути трохи більш конкретним, розглянемо сімейство просторів діапазону, наприклад, сімейство:

$\big\{(X,\mathcal{R})$ : - кінцевий набір плоских точок, містить усі перетини з лініями$X$$\mathcal{R}$$X$$\big\}$

Якщо для деякої функції яка є лінійною або надлінійною , сімейство містить простір діапазону, який не допускає ϵ -мережі розміру f ( 1 / ϵ ) , що, якщо що, це означає про проблему встановлення мінімального удару обмежено цим сімейством просторів?$f$$\epsilon$$f(1/\epsilon)$

Якщо простір діапазону має -мережу розміру f ( 1 / ϵ ) , то розрив цілісності дробового набору ударів (або кришки набору) дорівнює f ( 1 / ϵ ) / ( 1 / ϵ ) . Перегляньте роботу Філіпа Лонга ( тут [Робота навіть. Еталонна. Пізніше, ніж ця робота, і знову відкрийте деякі його речі]) Дивіться також слайди 13-16 тут .$\epsilon$$f(1/\epsilon)$$f(1/\epsilon)/(1/\epsilon)$

Коротше кажучи, наявність нелінійних -мереж вказує на те, що наближення до відповідної задачі набору / встановлення кришки в межах кращого, ніж постійний фактор, буде дуже складним.$\epsilon$

Я не впевнений, що це щось означає. Основний потік результатів в іншому напрямку, тобто за конструкціями Бронніманна / Гудриха або Евента / Равіца / Шахара , сітка лінійного розміру передбачає постійне наближення фактора для набору ударів (для обмеженого розміру ВК),