Неправильне планарне забарвлення з розміром монохроматичних компонентів

Давайте трохи розслабимо забарвлення, тобто дозволимо невеликій кількості сусідніх вершин присвоїти один і той же колір. Монохроматичний компонент визначається як з'єднаний компонент у підграфові, індукований набором вершин, які отримують один і той же колір, і питання полягає в тому, щоб задати мінімальну кількість кольорів, необхідних для забарвлення графіка таким чином, що найбільший монохроматичний компонент має немає розмір не більше , ніж . $\lambda$$C$
Традиційне забарвлення може бути розглянуте як забарвлення в цій настройці. Отже, знайти мінімальну кількість є NP-важким для плоского графа в цілому. $[\lambda,1]$$\lambda$

Моє запитання, а як щодо -кольорування плоских графіків або, загалом, -кольорування для ?$[\lambda,2]$$[\lambda,C]$$C \geq 2$

Це можна розглядати як двоїсту задачу про те , що вивчається Едвардс і Фарра , де фіксується, і один просять знайти мінімальний розмір .$\lambda$$C$

Двокольорове досконале узгодження в кубічних плоских графах дуже схоже на вашу проблему, яку Шефер заявив про повну NP у своїй відомій теоремі про дихотомію, хоча він не дав доказів для кубічних плоских графіків. Проблема вимагає існування двох забарвлень кубічних плоских графіків таким чином, щоб кожна вершина мала рівно одного сусіда того ж кольору, що й сама.

EDIT: Несправне забарвлення - це версія рішення вашої проблеми. Графік є (k, d) - кольоровим, якщо можна забарвити вершини в k кольори таким чином, що жодна вершина не прилягає до більш ніж d вершин його одного кольору. Проблема рішення (2,1) - забарвлення з дефектами, що еквівалентно вашій проблемі оптимізації, було показано NP-повним навіть для плоских графіків.