Причини, з яких графік може бути не

Хоча трохи розмірковуючи над цим питанням , я намагався визначити всі різні причини, за якими графік може бути кольоровим. Це єдині 2 причини, які мені вдалося визначити поки що:$G = (V_G,E_G)$$k$

1. k + $G$ містить кліку розміром . Це очевидна причина.$k+1$

2. Там існує підграф з таким чином, що обидва наступні твердження:$H = (V_H, E_H)$$G$

   • k - $H$ не є кольоровим.$k-1$
   • $\exists x \in V_G - V_H\ \forall y \in V_H\ \{x,y\} \in E_G$ . Іншими словами , існує в вузлі в , але не в , такий , що з'єднаний з кожним вузлом в .G H x $x$$G$$H$$x$$H$

Ми можемо бачити 2 вищезгадані причини як правила. До рекурсивно їх застосування, тільки два шляхи , щоб збудувати не Colorable граф , який не містить кліка:k + $k$$k+1$

1. Почніть з циклу рівномірної довжини (який є кольоровим), потім застосуйте правило 2 для рази. Зауважте, що ребро не вважається циклом довжиною (інакше цей процес матиме ефект створення ).к - 1 2 к + $2$$k-1$$2$$k+1$
2. Почніть з циклу непарної довжини (який є кольоровим), потім застосуйте правило 2 для рази. Довжина стартового циклу повинна бути більше (інакше цей процес матиме ефект створення кліки).к - 2 3 к + $3$$k-2$$3$$k+1$

Питання

Чи є ще якась причина, окрім наведених вище 2, що робить графік не кольоровим?$k$

$\ $
Оновлення 30.11.2012

Точніше, мені потрібна теорема форми:

Графік має хроматичне число χ ( G ) = k + 1, якщо і лише тоді, коли ...$G$$\chi(G) = k + 1$

Обчислення Хайоса, на яке вказував Ювал Філімус у своїй відповіді, є прекрасним прикладом того, що я шукаю, оскільки графік має хроматичне число χ ( G ) = k + 1, якщо і тільки якщо воно може бути отримане з аксіоми K k + 1 , повторно застосовуючи 2 правила умовиводу числення. Тоді число Хайоса h ( G ) - це мінімальна кількість кроків, необхідних для отримання G (тобто це довжина найкоротшого доказу).$G$$\chi(G) = k + 1$$K_{k+1}$$h(G)$$G$

Дуже цікаво, що:

• Питання про те, чи існує графік , h ( G ) експоненціальний за розміром G , досі залишається відкритим.$G$$h(G)$$G$
• Якщо така не існує, то Н Р = C ущільнювача N P .$G$$NP = coNP$

Ви повинні перевірити обчислення Hajós . Хайос показав, що кожен графік з хроматичним числом принаймні має підграф, який має "причину" вимагати k кольорів. Підстава, про яку йдеться, - система доказів, що вимагають k кольорів. Єдина аксіома - K k , і є два правила умовиводу. Дивіться також цей документ Pitassi та Urquhart про ефективність цієї системи доказів.$k$$k$$k$$K_k$

Часткова відповідь, в тому, що я не знаю приємної "причини", яку можна узагальнити, але наступний графік (безсоромно прозваний звідси ):

Не є 3-кольоровим, але, очевидно, 4-кольоровим (будучи планарним), і він не містить , ні жодного циклу з додатковою вершиною, з'єднаною з усіма вершинами циклу (якщо я щось не пропускаю, але єдині вершини з'єднані з вершиною та її сусідом знаходяться в 3-х циклах). В подальшому ви можете застосувати версію правила 2, щоб отримати графік хроматичного числа 5.$K_{4}$

Я б підозрював, що для будь-якого роду є графік певної мінімальної хроматичної кількості (див. Гіпотезу Heavy ), яка не відповідає правилам 1 або 2. Звичайно, я не маю жодного доказу, крім інтуїції.

Ловаш знайшов топологічні перешкоди для k-забарвлення і застосував свою теорію для вирішення гіпотези Кнасера. Його теорема така. Нехай G - зв'язаний графік, а N (G) - спрощений комплекс, обличчя якого є підмножинами V, які мають спільних сусідів. Тоді якщо N (K) k-пов'язаний (а саме всі його зменшені групи гомології дорівнюють 0 до розмірності k-1), то кількість кольорів, необхідних для забарвлення G, принаймні k + 3.

Немає великого незалежного набору може бути настільки ж важливим, як і великий клік.

Важливою перешкодою для графіка, який не є кольоровим, є те, що максимальний розмір незалежної множини менший, ніж n / k, де n - кількість вершин. Це дуже важлива обструкція. Наприклад, це означає, що випадковий графік у G (n, 1/2) має хроматичне число щонайменше n / log n.

Більш досконала перешкода полягає в тому, що для кожного призначення невід'ємних ваг для вершин не існує незалежного набору, який захоплює частку 1/5 (або більше) від загальної ваги. Зауважте, що це також включає "відсутність перешкод для натискання". LP-подвійність говорить вам, що ця перешкода еквівалентна тому, що "дробове хроматичне число" G є більшим за k.

Існують також перешкоди для k-забарвлення різного характеру, які іноді виходять за межі дробового хроматичного бар'єру чисел. Я присвячу їм окрему відповідь.

$G$$\chi(G)=k+1$

$G$$\chi(G)\ge k$$G$$k-1$