Обмежені ймовірні розподіли глибини

Два пов'язаних питання щодо обчислень з обмеженою глибиною:

1) Припустимо, що ви починаєте з n біт, а для початку з біта i можна дорівнювати 0 або 1 з деякою ймовірністю p (i), незалежно. (Якщо це полегшує проблему, ми можемо вважати, що всі p (i) s дорівнюють 0,1, або 1/2.~~або навіть, що всі вони 1/2.~~)

Тепер ви робите обмежену кількість обчислень. У кожному раунді ви застосовуєте оборотні класичні ворота на роз'єднані набори бітів. (Зафіксуйте улюблений набір універсальних класичних оборотних воріт.)

В кінці ви отримуєте розподіл ймовірності на рядках на n бітах. Чи є результати щодо обмеження таких розподілів?

Я дивлюсь на щось аналогічне леммі Хастада про перемикання, Боппана призводить до того, що загальний вплив невеликий або теорема LMN.

2) Те саме питання, що і 1), але з обмеженими глибинними квантовими схемами.

— Гіл Калай
джерело

Я можу бути що - то НЕ хапаю, але це не питання 1 з усім

p (i)

$p(i)$ , що дорівнює

1 / 2

$1/2$ тривіальними? Ви починаєте з рівномірного розподілу на

{0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n$ , який є інваріантним за біекціями.

— Клаус Драгер

Чи корисна наступна трансформація вашої проблеми? Перетворіть свій вхід (вектор

p_{0}, p_{1}, \dots

$p_0,p_1,\dots$ ), до

2^{n}

$2^n$ вектора-довжина , що представляє розподіл ймовірностей довічних рядків довжини

n

$n$ . Тепер будь-яке обчислення є квадратною стохастичною матрицею, що діє на (скажімо) ліворуч, щоб створити розподіл ймовірності на вихідних рядках довжиною

n

$n$ . WLOG, ми можемо вважати, що всі записи є двійковими. Питання лише в тому, що таке клас стохастичних двійкових матриць, який можна створити за допомогою обмеженого числа матричних множень наших базових матриць (оборотні ворота).

— usul

Вибачте, я повинен бути більш точним. Під базовою матрицею я маю на увазі не реверсивні ворота, а скоріше деякий набір реверсивних воріт, що діють паралельно, і мені не здається одразу очевидним, як виглядатимуть такі матриці з урахуванням набору воріт.

— usul

Обидві відповіді заслуговують на винагороду, я побачу, що я можу зробити

— Гіл Калай

що ви маєте на увазі під "розрізненими наборами" бітів?

— vzn

Відповіді:

Є деякі відносно недавні роботи Емануеле Віола та ін., Які стосуються складності розподілу вибірки. Вони зосереджені на обмеженій моделі обчислень, як обмежені дерева рішень глибини або обмежені схеми глибини.

На жаль, вони не обговорюють оборотні ворота. Навпаки, часто трапляються втрати на вихідній довжині. Тим не менш, ці документи можуть стати гарною відправною точкою.

Схеми з обмеженою глибиною не можуть відібрати хороші коди

Складність розподілів

— MassimoLauria
джерело

Велике спасибі, Массімо! це виглядає дуже актуально.

— Гіл Калай

(Також мене цікавить незворотний випадок.)

— Гіл Калай

Коротка відповідь.

Для квантових схем, існує принаймні один НЕ результат -обмежень: довільні обмежена глибина-квантові схеми навряд чи буде simulatable з малої мультипликативной помилкою ймовірності результату, навіть для поліноміальних глибинних класичних схем.

$\mathsf{QNC^0}$

Деталі

Ми можемо розглянути визначення квантових схем глибинних полілогів, які дано Fenner et al. (2005) :

$\mathsf{QNC^k}$ $\{C_n\}_{n\geqslant0}$ $p$ $C_n$ $n$ $p(n)$ $O(\log^k(n))$

Однокубітні ворота повинні бути встановлені з фіксованого кінцевого набору, хоча цього достатньо для імітації будь-якого нерухомого унітару на постійній кількості кубітів до будь-якої фіксованої точності. Ми також дозволяємо використовувати будь-яку підмножину кубітів на кінці ланцюга для представлення результатів сімейства ланцюгів (наприклад, один кубіт для булевих функцій).

Бремнер, Джосса та Шеппард (2010) відзначають (див. Розділ 4), що, використовуючи адаптацію методики телепортації на воротах завдяки Терхалу та Дівінченцо (2004) , після відбору деяких кубітів у Ланцюг дозволяє вирішити проблеми в . Використовуючи їх результати щодо імітації виділених схем, це означає, що проблема класичного вибірки з розподілу виводу довільної схеми з виведенням, з мультиплікативною помилкою не більше при ймовірності вибірки, в неможливо з випадковими поліноміальними схемами глибини, якщо поліноміальна ієрархія частково не руйнується (конкретно $\mathsf{QNC^0}$ $\mathsf{PostBQP = PP}$ $\mathsf{QNC^0}$ $\sqrt 2$ $\mathsf{PH} \subseteq \Delta_3$ ).

— Ніль де Бодорап
джерело

Шановний Ніль, дуже цікаво! Спасибі! Мене особливо цікавлять дистрибуції. Чи можете ви пояснити, чому "Це, звичайно, не говорить вам ..."?

— Гіл Калай

Результат незмінюваності постійного фактора зберігається через PostQNC⁰ = PostBQP = PP . Постселекція використовується тут, щоб "примусити успіх" довгої струни телепортацій, для імітації квантово-поліглибинного розподілу за допомогою квантово-постійної глибини розподілу, обумовленого подією надзвичайно низької, але ненульової ймовірності. Будь-який постійний коефіцієнт наближення був би таким самим добре для поліглибкового контуру. Але це не говорить вам, наприклад , верхня межа того, наскільки амплітуда в абсолютних (і асимптотичних) показниках зосереджена (або може бути спроектована на) будь-який конкретний підпростір.

— Ніль де Бодорап