Конструктивність природних доказів та геометрична складність

Нещодавно Райан Вілламс довів, що конструктивність у природному доказі неминуча для отримання розділення класів складності: $\mathsf{NEXP}$ і $\mathsf{TC}^{0}$ .

Конструктивність у Natural Proof - це умова, що всі комбінаторні докази складності ланцюга задовольняють, і ми можемо вирішити, чи має цільова функція в $\mathsf{NEXP}$ (або інших «важких» класах складності) алгоритм, який працює в полі-час у довжині таблиці правдивості цільової функції.

Дві інші умови: непотрібна умова, яка вимагає властивості "жорсткого", не може бути обчислена жодними схемами в $\mathsf{TC}^0$ і умова величини, яку важку властивість легко знайти.

Моє запитання:

Чи робить цей результат недоступним теорію геометричної складності (GCT) для вирішення основних проблем поділу, таких як vs N P , P vs N C , або N E X P vs T C 0 ?$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{TC}^0$

Список літератури:

• Райан Вільямс, " Природні докази проти дерандомізації "

Ні, невідворотна конструктивність, безумовно, залишає ГКТ відкритими як життєздатний план атаки на нижні межі, такі як проти P / p o l y .$NP$$P/poly$

По-перше, варто згадати, що результат Райана щодо конструктивності дуже схожий за смаком на так звані "теореми фліп" Малмулі, які, наприклад, говорять про те, що якщо постійні не мають арифметичних схем полі розміру, то існує рандомізований полі-час, сконструйований набір матриць (поліноміально багато) таким, що кожна мала ланцюг відрізняється від постійної на одній з цих матриць. Дивітьсяявні докази та фліп, Технічний звіт, відділ комп'ютерних наук, Університет Чикаго, вересень 2010 рокувід Mulmuley.$\{M_1, \dotsc, M_{p(n)}\}$

По-друге, центральність симетричної характеристики (про яку вже згадував сіуман) у ДКТ стала більш очевидною з часу опитування Регана. Якщо симетричність-характеристика виявляється такою ж важливою для ГКТ, як здається, це відбувається, то це вже обходиться умовою величини. Для визначення ознаки симетрії див. Цю відповідь на тісно пов'язане попереднє питання .

Для підтвердження того, що симетрична характеристика порушує масштабність, див. Розділ 3.4.3 "Характеристика симетрії дозволяє уникнути бар'єру Розборова-Рудича" в моїй тезі (безсоромні пробки, але я не знаю більше ніде, де це так записано) . Я підозрюю, що це також порушує конструктивність, але залишив це як відкрите питання. (Раніше в розділі 3 також містився огляд теорем фліп у GCT та їх відношення до симетричної характеристики.)

(Мені здається цікавим, що симетричність-характеристика - саме властивість, яку ми підозрюємо, буде використана в GCT, який існує навколо Розборова - Рудича - використовується для доведення теорем обертання, що, по суті, говорить про необхідність конструктивності.)

Насамкінець, варто згадати, що хоча у довгостроковій перспективі ГКТ має на меті вирішити проти P / p o l $NP$$P/poly$ та інші булеві проблеми, на даний момент більшість роботи в GCT зосереджена на таких алгебраїчних аналогах, як над комплексом чисел, і досі немає алгебраїчного аналога Разборова - Рудича (про який я знаю).

Дозвольте спершу виправити можливе непорозуміння: на жаль, ми ще не знаємо, що . Моя остання нижня межа - N E X P ∩ c o N E X P ⊄ A $NEXP \not\subset TC^0$ .$NEXP \cap coNEXP \not\subset ACC$

Тепер відповідь на ваше запитання - ні. Все ще дуже можливо, що методи, засновані на ГКТ, можуть відокремити від $P$ .$NP$

Ще кілька коментарів з цього приводу: співвідношення між ДКТ та природними доказами вже обговорювалось раніше (навіть у самих оригінальних документах про ДКТ). Хоча, мабуть, не існує єдиної думки щодо того, яка з "конструктивності" чи "масштабності" буде порушена підходом до ДКТ, Малмулі та Сохоні в один момент стверджували, що якщо ГКТ може бути здійснено, то це повинно порушити масштабність. Для релевантної довідки див. Розділ 6 огляду Регана щодо ДКТ . Однак я хочу додати, що цьому огляду вже 10 років, і з того часу значна частина роботи була вкладена в ДКТ; Я не впевнений, чи є переглянута / нова думка з цього приводу. (Можливо, Джош Грохов може задзвонити?)

Коротка відповідь - Ні .

Підхід до теорії геометричної складності орієнтований на певну надзвичайно рідкісну властивість, яка, як стверджує Малмулі, не є «великою», як визначено Різборовим та Рудичем. Для формального аргументу см також Joshua Grochów в дисертації , розділ 3.4.3 Симетрія-характеристика дозволяє уникнути бар'єру розбір-Рудич , і його відповідь .

Наступний параграф виходить із теорії про П проти НП та теорії геометричної складності Кетана Малмулі ( JACM 2011 або рукопис ), Розділ 4.3 План високого рівня :

Мета полягає в тому, щоб чітко провести ці кроки, використовуючи характеристику симетріями постійного та визначального. Ми уточнимо, які явні засоби пізніше; пор. Гіпотеза 4.6. Цей підхід є надзвичайно жорстким в тому сенсі, що він працює лише для надзвичайно рідкісних жорстких функцій, які характеризуються їх симетрією. Ця надзвичайна жорсткість набагато більше, ніж потрібно, щоб обійти природний бар'єр [Розборов і Рудич 1997].

Оскільки як умови конструктивності, так і масштабності необхідні для природного доказу (де корисність неявна), доведення того, що конструктивність неминуча, недостатньо для виключення таких підходів (хоча це великий крок вперед).