Коли розслаблено рахувати важко?

Припустимо, ми усунемо проблему підрахунку належних забарвлень шляхом підрахунку зважених забарвлень таким чином: кожне правильне забарвлення набирає вагу 1, а кожне неправильне забарвлення набирає ваги де - деяка константа, а - кількість ребер з кінцевими точками пофарбовано однаково. Оскільки переходить до 0, це зводиться до підрахунку правильних забарвлень, що важко для багатьох графіків. Коли c дорівнює 1, кожне забарвлення набуває однакової ваги і проблема тривіальна. Коли матриця суміжності графіка помножена на має спектральний радіус нижче c v c - log ( c ) / 2 1 - $c^v$$c$$v$$c$$-\log(c)/2$$1-\epsilon$, цю суму можна наблизити шляхом поширення віри з гарантією конвергенції, тому це практично на практиці. Теоретично це також просто, оскільки певне дерево обчислень демонструє розпад кореляцій, а отже, дозволяє поліноміальний алгоритм часу для гарантованого наближення - Tetali, (2007)

Моє запитання - які інші властивості графіка ускладнюють цю проблему для локальних алгоритмів? Важко в тому сенсі, що можна вирішити лише невеликий діапазон .$c$

Edit 09/23 : Поки я натрапив на два алгоритми детермінованого поліноміального наближення для даного класу задач (похідні паперу STOC2006 Weitz та підхід Гамарника до «розширення порожнини» для приблизного підрахунку), і обидва підходи залежать від фактора розгалуження само- уникаючи прогулянок по графіку. Спектральний радіус з'являється, тому що це верхня межа цього фактора розгалуження. Тоді питання - чи це хороша оцінка? Чи можемо ми мати послідовність графіків, де коефіцієнт розгалуження прогулянок, що уникають самоочищення, обмежений, тоді як коефіцієнт розгалуження звичайних прогулянок росте без обмежень?

Редагувати 10/06 : Цей документ Аллана Слая (FOCS 2010) видається релевантним ... результат підказує, що фактор розгалуження нескінченного дерева прогулянків, що уникають самоочищення, точно фіксує точку, в якій підрахунок стає важким.

Редагувати 10/31 : Гіпотези Алана Сокаля ( с.42 "Багатовимірної поліноми Тутте" ), що існує верхня межа радіусу вільної від нуля області хроматичного полінома, лінійна з точки зору maxmax потоку (максимальний потік st над всі пари s, t). Це здається актуальним, оскільки кореляції дальньої дальності з'являються у міру наближення кількості правильних забарвлень до 0.

Для плоских графіків це важко, принаймні, для шести кольорів і більше. Див. "Неприкладність полінома Тутта плоского графа" Гольдберга та Джерума

Ще кілька коментарів:

Локальний алгоритм підрахунку обчислює підрахунок з набору статистики на вузол, де кожна статистика є функцією деякої сусідства графів вузла. Що стосується забарвлень, ця статистика пов'язана з "граничною ймовірністю зустріти колір c". Ось приклад цього зменшення для простого графіка.

З недавньої статті Алана Слі випливає, що підрахунок незалежних множин за допомогою локального алгоритму настільки ж важкий, як і підрахунок незалежних множин за допомогою будь-якого алгоритму. Моя підозра, що це справедливо для загального підрахунку графіків.

Для локальних алгоритмів жорсткість залежить від того, як поводиться кореляція між вузлами щодо відстані між вузлами. На досить великих відстанях ця кореляція по суті має лише дві поведінки - або кореляція розпадається експоненціально в графічній відстані, або зовсім не розпадається.

Якщо спостерігається експоненціальний розпад, локальна статистика залежить від мікрорайону, розмір якого є поліномом за розміром графіка, тому проблема підрахунку проста.

У статистичних моделях фізики було відмічено (тобто, де Геннес, Емері), що існує зв'язок між самозахищеними прогулянками, кореляційним розпадом та фазовими переходами. Точка, в якій функція генерації для самостійного уникання прогулянок по решітці стає нескінченною, відповідає температурі, при якій у моделі з'являються дальні кореляції.

Ви можете побачити з конструкції дерев, що уникають прогулянок, що уникають прогулянок Вайц, чому прогулянки, що уникають самостійного виходу, виникають у кореляційному занепаді - граничні можуть бути представлені саме як корінь дерева прогулянок, що уникають самовираження, тож якщо фактор гіллястості цього дерева є досить маленькі, листя дерева з часом стають неактуальними.

Якщо "місцева твердість" передбачає твердість, то достатньо кількісно оцінити властивості, що визначають швидкість росту самозахищених прогулянок. Точний темп росту може бути витягнутий із функції, що генерує, для самостійного уникання прогулянок, але обчислити це неможливо. Спектральний радіус легко обчислити і дає нижню межу.

Деякі коментарі: не відповідь.

Якщо достатньо малий щодо кількості вершин на графіку, то неправильне забарвлення складе менше ніж 1. Отже, існує тривіальне зменшення від випадку ваги 0 до цього випадку: просто виберіть щоб бути малим достатньо. Це означає, що проблема # P-важка для будь-якої колекції екземплярів з , для будь-якого . (Тут я дозволяю бути різним у різних випадках, тому класи є об'єднаннями класів із фіксованим .)c c ∈ [ 0 , ϵ ) ϵ > 0 c $c$$c$$c \in [0,\epsilon)$$\epsilon > 0$$c$$c$

Тепер припустимо, що справді виправлено, як у вашій програмі налаштування проблеми. Тоді для досить великих графіків завжди можна перевищити зважену суму 1 за неправильні фарбування, тому це пряме зменшення не працює.$c$

Ви запитуєте структурні властивості класу графіків, які дозволяли б проблемі залишатися важкою. Наскільки я можу сказати, це буде важко майже завжди. Але це дуже схематично і потрібно більше працювати.