Скільки непересічних обрізів, які повинен мати DAG?

Наступне питання пов'язане з оптимальності Беллмана-Форда - найкоротшого шляху Алгоритм динамічного програмування (див цей пост для зв'язку). Крім того, позитивна відповідь означає, що мінімальний розмір монотонної недетермінованої програми розгалуження для задачі STCONN становить . с $s$$t$$\Theta(n^3)$

Нехай - DAG (спрямований ациклічний графік) з одним вихідним вузлом і одним цільовим вузлом . A - виріз - це сукупність ребер, видалення яких руйнує всі - шляхи довжини ; ми припускаємо, що в є такі шляхи . Зауважте, що коротші - шляхи не повинні бути знищені.Г с т $G$$s$$t$$k$s t ≥ k G s $s$$t$$\geq k$$G$$s$$t$

Запитання: Чи повинен мати принаймні (приблизно) розрізнені -розрізи? Г $G$$k$ $k$

Якщо немає - шляхів, коротших від , відповідь ТАК, тому що ми маємо наступний відомий факт min-max (подвійний теоремі Менгера ), приписаний Робекджеру . - розрізу є Обріжте для (знищує все - шляхів).с т $s$$t$$k$^$\ast$ s t k k = $s$$t$$k$$k=1$ с $s$$t$

Факт: У будь-якому спрямованому графіку максимальна кількість розрізних ребер - відрізків дорівнює мінімальній довжині шляху - . с $s$$t$с $s$$t$

Зауважте, що це справедливо, навіть якщо графік не є ациклічним.

Доведення: Тривіально мінімум є принаймні максимумом, оскільки кожен - шлях перетинає кожен - відріз по краю. Щоб побачити рівність, нехай - довжина найкоротшого шляху від до . Нехай , для , і - сукупність ребер, що залишають . Зрозуміло, що множини , тому що множини такі. Отже, залишається показати, що кожен є -s t s t d ( u ) s u U r = { u : d ( u ) = r } r = 1 , … , d ( t ) E r U r E r U r E r s t s t p = ( u 1 , u 2 , … , u m$s$$t$$s$$t$$d(u)$$s$$u$$U_r=\{u\colon d(u)=r\}$$r = 1,\ldots, d(t)$$E_r$$U_r$$E_r$$U_r$$E_r$$s$$t$вирізати. Щоб показати це, візьміть довільний - шлях з і . Оскільки , послідовність відстаней повинна досягати значення , починаючи при і збільшує значення максимум на на кожному кроці. Якщо деяке значення зменшиться, тоді ми повинні досягти значення останнього. Отже, повинно бути де відбувається перехід від до , тобто край$s$$t$$p=(u_1, u_2, \ldots,u_m)$u 1 = s u m = t d ( u i + 1 ) ≤ d ( u i ) + 1 d ( u 1 ) , … , d ( u m ) d ( u m ) = d ( t ) d ( u 1 ) = d ( s ) = 0 1 d $u_1=s$$u_m=t$$d(u_{i+1})\leq d(u_i)+1$$d(u_1),\ldots,d(u_m)$$d(u_m)=d(t)$$d(u_1)=d(s)=0$$1$u i ) d ( u i ) j d ( u j ) = r d ( u j + 1 ) = r + 1 ( u j , u j + 1$d(u_i)$$d(u_i)$$j$$d(u_j)=r$$d(u_{j+1})=r+1$$(u_j,u_{j+1})$ належить до , як бажано. QED $E_r$

Але що робити, якщо є і більш короткі (ніж ) шляхи? Будь-який натяк / посилання? $k$

---

$^{\ast}$ JT Robacker, Теореми Мін-Макса про найкоротші ланцюги та нерозрізні вирізи мережі, Дослідницький меморандум RM-1660, Корпорація RAND, Санта-Моніка, Каліфорнія, [12 січня] 1956.

---

EDIT (через день): Через короткий і дуже приємний аргумент Девід Еппштейн відповів на початкове запитання вище негативно : повний DAG ( перехідний турнір ) не може мати більше чотирьох розрізнених розрізів! Насправді він доводить наступний цікавий структурний факт для about . Розріз чистий, якщо він не містить ребер, падаючих на або .$T_n$$k$k $k$$\sqrt{n}$с $s$$t$

Кожна чиста -різка в містить шлях довжиною . k T n$k$$T_n$$k$

Це, зокрема, означає, що кожні два чисті вирізки повинні перетинатися! Але, мабуть, все ж є багато чистих -розрізів, які не перетинаються «занадто сильно». Отже, питання невимушене (наслідки для STCONN були б однаковими ):k $k$$k$

Запитання 2: Якщо кожен чистий -cut має країв, то чи має граф мати приблизно ребра? k ≥ M Ω ( k ⋅ M $k$$\geq M$$\Omega(k\cdot M)$

Зв'язок зі складністю STCONN походить від результату Ердоса та Галлая, що треба видалити всі крім ребер із ( ) , щоб знищити всі шляхи довжиною . ( k - 1 ) m / 2 K m$(k-1)m/2$$K_m$$k$

---

EDIT 2: Зараз я задав запитання 2 на mathoverflow .

Коротка відповідь: ні.

Нехай G - повна DAG (перехідний турнір) на n вершинах, з s і t - її джерелом і раковиною, і нехай k = $G$$n$$s$$t$п / 3 . Зауважте, що може бути не більше чотирьох розрізнених розрізів, які містять більше тамівn/3ребер, що падають наs,або більшеn/3ребер, падаючих наt. Отже, якщо має бути багато непересічних розрізів, можна припустити, що існує зрізC, який не містить великої кількості ребер, що падають наsіt.$k=\sqrt{n/3}$$n/3$$s$$n/3$$t$$C$$s$$t$

Нехай тепер X буде повний підграф , індукований в G з безліччю вершин х таким чином, що ребра и х і х т не належать C . Кількість вершин у X становить щонайменше n / 3 , оскільки в іншому випадку C торкнеться занадто багато ребер, що падають на s або t . Однак X ∖ C не може містити k- шлях, тому що якби такий шлях існував, його можна було б з'єднати з s і t, щоб утворити довгий шлях у $X$$G$$x$$sx$$xt$$C$$X$$n/3$$C$$s$$t$$X\setminus C$$k$$s$$t$∖ З . Тому найшарший траєкторій шару X ∖ C має менше k шарів і має шар, що містить більше ( n / 3 ) / k = k вершин. Оскільки це шар найдовшого шару шару, він незалежний у X ∖ C , а тому повний у C , тому C містить шлях P через вершини цього шару, довжиною k . Цей шлях повинен бути невід’ємним від усіх інших скорочень.$G\setminus C$$X\setminus C$$k$$(n/3)/k=k$$X\setminus C$$C$$C$$P$$k$

Кожен зріз, який не є C, повинен містити або край від s до початку шляху P, або край від кінця шляху P до t , інакше він не блокує шлях s - P - t . Отже, якщо C існує, може бути не більше трьох розрізнених розрізів. А якщо C не існує (тобто якщо всі надрізи охоплюють більше n / 3 ребер, що падають на s або t ), може бути не більше чотирьох непересічних розрізів. Так чи інакше, це набагато менше, ніж k скорочень.$C$$s$$P$$P$$t$$s$$P$$t$$C$$C$$n/3$$s$$t$$k$