Як я повинен думати про захисні сітки?

У своїй відповіді на це питання , Стефан Хіменес вказав мені на алгоритм нормалізації поліноміальний час для доказів в лінійної логіки. Доказ в роботі Жирара використовує доказові мережі, які є аспектом лінійної логіки, про яку я насправді не дуже знаю.

Зараз я раніше намагався читати документи про захисні сітки (наприклад , примітки П'єра-Луї Курієна до них), але я не дуже їх зрозумів. Отже, моє запитання: як я повинен про них думати? Під "думкою про них" я маю на увазі як неформальну інтуїцію, що стоїть за ними (наприклад, як вони поводяться обчислювально, або як вони пов'язані з послідовностями), а також те, які теореми про них я повинен довести, щоб справді їх отримати.

Відповідаючи на це запитання, ви можете припустити (1) Я добре знаю теорію доказів лінійної логіки (включаючи такі речі, як те, як йде доказ відсікання, і у фокалізованому вигляді) (2) їх категоричну семантику з точки зору когерентності просторів або за допомогою денної згортки, і (3) самі основні зачатки побудови ГоІ.

Дослідні мережі цікаві по суті з трьох причин:

1) ІДЕНТИЧНІСТЬ ДОКАЗІВ. Вони дають відповідь на проблему "коли два докази однакові"? У послідовному обчисленні у вас може бути багато різних доказів однієї і тієї ж пропозиції, які відрізняються лише тим, що послідовне обчислення змушує розпоряджатися серед правил відрахування, навіть коли це не потрібно. Звичайно, можна додати відношення еквівалентності для підтвердження послідовних обчислень, але тоді треба показати, що усунення скорочень ведеться належним чином на класах еквівалентності, а також необхідно звернутися до модуля переписування, який є більш технічним, ніж звичайне переписування. Мережі, що підтверджують, вирішують проблему роботи з класами еквівалентності, надаючи синтаксис, коли кожен клас еквівалентності згортається на один об'єкт. Ця ситуація все-таки є дещо ідеалістичною, оскільки з багатьох причин сітки для доказування часто розширюються певною формою еквівалентності.

2) НЕ КОМУТАТИВНИХ КРОКІВ ЕЛІМІНІКАЦІЇ Елімінація розрізів на захисних мережах має зовсім інший аромат, ніж на послідовних розрахунках, оскільки зникають кроки комутативного зрізу. Причина полягає в тому, що у доказних мережах правила відрахування пов'язані лише їх причинно-наслідковим зв’язком. Комутативні випадки породжуються тим, що одне правило може бути приховане іншим причинно-неспорідненим правилом. Це не може статися в захисних мережах, де причинно-неспоріднені правила знаходяться далеко один від одного. Оскільки більшість випадків висічення різань є комутативними, то отримує разюче спрощення вирізання. Це було особливо корисно для вивчення лямбда-обчислень із явними підмінами (оскільки експоненти = явні заміни). Знову ж таки, ця ситуація ідеалізована, оскільки деякі презентації доказних мереж потребують комутативних кроків. Однак,

3) КРИТЕРІЇ ПРАВИЛЬНОСТІ. Мережі доказів можуть бути визначені шляхом перекладу послідовних доказів обчислення, але зазвичай система мереж доказування не приймається як така, якщо вона не забезпечена критерієм коректності, тобто набором графіко-теоретичних принципів, що характеризують набір графіків, отриманий при перекладі на підтвердження послідовного обчислення. Причиною, що вимагає критерію коректності, є те, що вільна графічна мова, породжена набором конструкторів чистої мережі (так званих посилань), містить "занадто багато графіків", в тому сенсі, що деякі графіки не відповідають жодному доказуванню. Актуальність підходу критеріїв правильності зазвичай повністю не зрозуміла. Це важливо, оскільки дає неіндуктивні визначення того, що є доказом, надаючи шокуюче різні точки зору на характер відрахувань. Те, що характеристика не індуктивна, зазвичай піддається критиці, тоді як саме те, що цікаво. Звичайно, це не легко піддається формалізації, але, знову ж таки, у цьому його сила: доказові мережі забезпечують уявлення, недоступні через звичайну індуктивну точку зору на докази та умови. Фундаментальною теоремою для мереж доказування є теорема секвенціалізації, яка говорить про те, що будь-який графік, що задовольняє критерію правильності, може бути індуктивно розкладений як доказ послідовного обчислення (переклад назад на правильний графік).

Дозвольте мені зробити висновок, що не точно сказати, що доказові мережі - це класичний та лінійний варіант природного виведення. Справа в тому, що вони вирішують (або намагаються вирішити) проблему тотожності доказів і природний дедукція успішно вирішує ту саму проблему за мінімальної інтуїтивістської логіки. Але доказові мережі можна зробити і для інтуїтивістських систем, і для нелінійних систем. Насправді вони краще працюють для інтуїтивістських систем, ніж для класичних систем.

$-A$$A$$-A$$A$

Жирард зауважив, що природний дедукція асиметрична саме таким чином. Ось чому це відповідає інтуїтивістській логіці. Сітки-докази представляють спробу Жирара винайти симетричну форму природного дедукції.

$\land\to$

$\Gamma \vdash A$$\vdash \Gamma^\perp, A$

Щось я пропустив у своїй оригінальній відповіді: Доказні мережі - це спосіб написання доказів, і ми знаємо, що докази - це програми. Отже, доказові мережі - це також спосіб написання програм.

Традиційні функціональні позначення для написання програм асиметричні, як і природні дедукції. Отже, захисні мережі вказують на спосіб написання програм у симетричній формі. Ось таким чином обчислюються процеси, що входять до зображення.

Інший спосіб представлення симетрії - це логічне програмування, яке я дослідив у двох працях: типова основа для програм спрямованої логіки та аспекти вищого порядку логічного програмування

Я зосереджуюсь на тому, як захисні мережі пов’язані з послідовним обчисленням, залишаючи більш динамічні дані.

Доказує мережу абстрактних доказів послідовного обчислення: доказна сітка являє собою набір послідовних доказів обчислення. Мережі, що підтверджують, забувають про неважливі відмінності між послідовними підрахунками обчислення (як, наприклад, формула, розкладена нижче якої). Важливою тут теоремою є "секвенціалізація", яка перетворює доказову сітку в послідовний доказ обчислення.

Це стосується, головним чином, частини вашого запитання про те, як вони поводяться в обчислювальній формі. Один із способів добре зрозуміти доказові мережі з обчислювальної точки зору - це перегляд трохи конкретніших інтерпретацій (наприклад, алгебраїка процесу).

Вас може зацікавити наступне:

• Доповідь Абрамського (розділ CLL про доказові вирази): обчислювальні інтерпретації лінійної логіки . У цьому документі також представлені деякі результати, близькі до відповідних для перевірки мереж, тому можуть допомогти у другому аспекті вашого питання.

• У статті Хонди та Лорана показано, як конкретний вид мереж для доказування, що називається поляризованими доказами, відповідає процесам Pi-числення, і який згадує Мартин Бергер вище: Точне відповідність між набраним пі-численням і поляризованим доказів- сітки

• (тут я безсоромно рекламую свою власну роботу) Проект: Доведення мереж у алгебраїчній формі процесу

Існує також декілька робіт, що стосуються доказних мереж та обчислення лямбда, які також дають значну інтуїцію. Наприклад, такі: Делія Кеснер та Стефан Ленгранд:

• Оператори ресурсів для λ-обчислення

Можливо, вам також буде цікавий такий вид робіт (дуже орієнтований на теоретичні аспекти), який покладається на Структури доказування, щоб детально довести властивість Сильної нормації LL Мішеля Пагані та Лоренцо Тортора де Фалько.

• Сильна нормалізаційна властивість для лінійної логіки другого порядку (ця стаття містить хорошу карту важливих теорем).

Загалом, які теореми слід вивчати? Ну, я навряд чи авторитет, але ви, можливо, захочете поглянути на "секвенціалізацію" (що стосується доказних мереж та послідовних доказів; див. Оригінал документа TCS про LL), а також сильний доказ нормалізації (скоріше задіяний, як очікувалося, але багато важливого Теореми PN пов'язані з цим [або використовуються для доведення]).

Якщо ви знайомі з фокусуванням, вас також може зацікавити цей документ від Andreoli:

• Фокусування та захист мереж у лінійній та некомутативній логіці

Сподіваюсь, це допомагає. Знову ж таки, ці посилання справді не є вичерпними.

найкраще, Димитріс

Нещодавно було проведено цікаву роботу над тим, щоб посилити співвідношення між пробною сіткою та зосередженими калькуляторами, використовуючи "багатофокусні" варіанти, де у вас може бути кілька одночасних лівих отворів, та вивчаючи "максимально зосереджені" докази. Якщо правильно підібрати обчислення, максимально орієнтовані докази можуть відповідати мережам, що підтверджують MLL, або, за класичною логікою, доказам розширення ( Ізоморфізм між доказами розширення та багатофокусними послідовними доказами, Каустав Чаудхурі, Штефан Гецл та Дейл Міллер, 2013)

Ви можете перевірити мій документ " Огляд мереж і матриць для підструктурної логіки ".

Анотація:

Ця стаття являє собою опис двох видів «стислих» схем доказів, методу \ emph {матриця} та \ emph {доказних мереж}, застосованих до різноманітних логік, що починаються по підструктурній ієрархії від класичної аж до класичної неасоціативна система Ламбека. Запропоновано нове поводження з мережами для останнього. Описи мереж і матриць, що підтверджуються, подаються в єдиному позначенні на основі послідовностей, так що властивості схем для різних логік можна легко порівняти.