Точний плоский електричний потік

Розглянемо електричну мережу, змодельовану як плоский графік G, де кожен край являє собою резистор 1Ω. Як швидко ми можемо обчислити точний ефективний опір між двома вершинами в G? Як еквівалентно, наскільки швидко ми можемо обчислити точний струм, що протікає по кожному краю, якщо ми приєднаємо батарею 1В до двох вершин G?

Відомі закони напруги та струму Кірхгофа зводять цю проблему до вирішення системи лінійних рівнянь з однією змінною на край. Більш пізні результати - чітко описані Клейном та Рандічем (1993), але неявні в попередній роботі Дойла та Снелла (1984) - зводять проблему до вирішення лінійної системи з однією змінною на вершину, що представляє потенціал цього вузла ; матриця для цієї лінійної системи є матрицею Лаплаціа графа.

Або лінійна система може бути вирішена саме в час , використовуючи вкладене розсічення і плоскі сепаратори [ Lipton Rose Тар'я тисяча дев'ятсот сімдесят дев'ять ]. Це відомий найшвидший алгоритм?$O(n^{3/2})$

Останні семінальні результати Спілмана, Тенга та інших свідчать про те, що лаплакійська система в довільних графах може бути розв’язана приблизно за майже лінійний час. Дивіться [ Koutis Miller Peng 2010 ] про поточний найкращий час роботи, і цю дивовижну статтю Еріки Кларрейх у Фонді Сімона для огляду високого рівня. Але мене спеціально цікавлять точні алгоритми для плоских графіків.

Припустимо модель обчислення, яка підтримує точну реальну арифметику в постійному часі.

$O(\sqrt{n^\omega})$

$O(\sqrt{n^\omega})$