Чи є пропозиція резолюції повною системою доказів?

Це питання стосується логіки пропозицій, і всі випадки "резолюції" слід розглядати як "пропозицію резолюції".

Це питання - щось надзвичайно основне, але мене це хвилює вже деякий час. Я бачу, що люди стверджують, що пропозиція резолюції є повною, але я також бачу людей, що резолюція неповна. Я розумію сенс, у якому дозвіл є неповним. Я також бачу, чому люди можуть стверджувати, що він є повним, але слово "завершене" відрізняється від способу "повного", коли описується природна дедукція чи послідовне обчислення. Навіть класифікатор "повне спростування" не допомагає, оскільки формули повинні бути в CNF, а перетворення формули в еквівалентну формулу CNF або невідповідну формулу CNF за допомогою трансформації Цейтена не враховується в системі перевірки.

Здоровість та повнота

Припустимо встановлення класичної навігаційної логіки із співвідношенням між деяким всесвітом структур і набором формул та класичним поняттям істинності Тарського в структурі. Ми пишемо якщо вірний у всіх структурах, що розглядаються. Я також припускаю систему для отримання формул з формул. $\models$ $\models \varphi$ $\varphi$ $\vdash$

Система є здоровою щодо якщо коли- нас є , ми також маємо . Система є повною щодо якщо коли- нас є , ми також маємо . $\vdash$ $\models$ $\vdash \varphi$ $\models \varphi$ $\vdash$ $\models$ $\models \varphi$ $\vdash \varphi$

Правило резолюції

Буквал - це атомне судження або його заперечення. Стаття - це диз'юнкція буквалів. Формула в CNF - це сполучення пунктів. Правило резолюції стверджує, що

Правило резолюції стверджує, що якщо сполучення пункту із пунктом є задоволеним, пункт також повинен бути задоволеним. $C \lor p$ $\neg p \lor D$ $C \lor D$

Я не впевнений, чи можна лише рішення роздільної здатності розуміти як систему підтвердження, оскільки немає правил для введення формул. Я припускаю, що нам принаймні потрібне правило гіпотези, яке дозволяє вводити пункти.

Неповнота резолюції

Відомо, що роздільна здатність є звукоізоляційною системою. Сенс, якщо ми можемо отримати диз'юнкцію з формули , використовуючи дозвіл , то . Дозвіл також є повним змістом спростування, якщо ми маємо то ми можемо вивести з за допомогою роздільної здатності. $C$ $F$ $\models F \implies C$ $\models F \implies \bot$ $\bot$ $F$

Розглянемо формулу

$\varphi := p \land q$ і . $\psi := p \lor q$

У системі Гентцена LK або, використовуючи природну дедукцію, я можу отримати імплікацію цілком у системі перевірки. Я не можу отримати це значення за допомогою роздільної здатності, тому що якщо я розпочну з , не буде роздільної здатності . $\varphi \implies \psi$ $\varphi$

Я бачу, як я можу довести обґрунтованість цього наслідку за допомогою роздільної здатності:

Розглянемо формулу $\neg (\varphi \implies \psi)$
Перетворіть формулу вище в CNF, використовуючи стандартні правила розподілу або використовуючи трансформацію Цейтена
Вивести з перетвореної формули, використовуючи роздільну здатність. $\bot$

Цей підхід для мене незадовільний, тому що він вимагає від мене кроків (1) та (2), які знаходяться поза системою підтвердження дозволу. Тому, здається, існує дуже чіткий сенс, в якому роздільна здатність не є повною, як ми говоримо про те, що природні дедукції або послідовні розрахунки завершені.

Запитання

З огляду на все, що вище, мої запитання:

Яка система доказів розглядається при обговоренні резолюції? Це лише правило резолюції? Які інші правила?
Мені здається дуже зрозумілим, що роздільна здатність не є повною в тому сенсі, що природні дедукції і послідовні розрахунки завершені. Чи є література, яка стверджує, що резолюція є повною термінологією зловживань лише тому, що сенс, у якому резолюція є повною, цікавіший, ніж сенс, у якому вона неповна?
Чи ця різниця в поняттях повноти, застосованих до резолюції та в інших місцях, і як їх узгодження обговорювалась в більшій глибині в літературі?
Я також усвідомлюю, що роздільна здатність може бути сформульована в послідовних обчисленнях з точки зору правила скорочення. Чи "правильний" теоретичний погляд на доказ роздільної здатності лише в тому, що це фрагмент послідовного обчислення, достатній для перевірки відповідності формул у CNF?

— Vijay D
джерело

(1) формули CNF із справедливою роздільною здатністю (або, якщо ви робите QBF, то формули QCNF з роздільною здатністю та зменшенням часу); (2) Так, це спростування завершено, і все ще дещо інше значення, а саме якщо то .

ψ ⊨ ⊥

$\psi\models\bot$

ψ ⊢ ⊥

$\psi\vdash\bot$

— Radu GRIGо

приблизно подібне питання тут. THX для розміщення. В основному, iiuc / afaik, роздільна здатність використовується для систем, набагато більше, ніж логіка 1-го порядку, але в логіці 1-го порядку це "звук / повнота", хоча це не завжди дуже добре описано, тому що часто використовується лише для підтвердження спростування. у «більших» системах, де терміни не просто булеві змінні, але, наприклад, екзистенційні класифікатори тощо, це не є повним. поле логіки не надто добре стандартизує свої термінологічні визначення, є багато "перевантажень" термінами тощо.

— vzn

Ось чому деякі кажуть, що це " поворотно завершено", наприклад, Л. Бахмайр та Х. Ганзінгер, "Доведення теореми резолюції", Посібник з автоматизованих міркувань, т. 1, с. 19–99, 2001.

— Trylks

Питання обговорює повноту спростування.

— Vijay D

Відповіді:

Яка система доказів розглядається при обговоренні резолюції? Це лише правило резолюції? Які інші правила?

A_{1}, \dots, A_{n} \to B_{1}, \dots, B_{m}

$A_1,\ldots,A_n \to B_1,\ldots,B_m$

\to {\bar{A}}_{1}, \dots, {\bar{A}}_{n}, B_{1}, \dots, B_{m}

${} \to \bar{A}_1,\ldots,\bar{A}_n, B_1, \ldots, B_m$

LK, обмежений пунктами, має лише чотири правила висновку:

особистість
скорочення (пропозиція резолюції)
скорочення (пропозиційний факторинг)
ослаблення

Очевидно, що ці чотири правила є повними для виведення пунктів, тобто

$C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ ${\cal S} \vdash C$

${\cal S} \vdash C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$ $N(C) = \{\{\bar{A}\} \mid A \in C\}$ $C$

Зрозуміло, що тоді і тільки тоді, коли . Наша система з чотирма правилами все ще є достатньою для доказу перетвореної проблеми, але ми помічаємо, що нам більше не потрібна ідентичність і послаблення. Решта два правила називаються "процедурою підтвердження дозволу". ${\cal S} \vdash C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

Пропозиція 2 Для будь-якого пункту та набору пунктів маємо тоді і лише тоді, коли використовуючи лише відсічення та стискання. $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

Суть перетворення проблеми в докази спростування дворазова:

$N(C)$
Ми маємо ручку про повну логіку предиката, формули якої можна перетворити на CNF до задоволення.

Чи "правильний" теоретичний погляд на доказ роздільної здатності лише в тому, що це фрагмент послідовного обчислення, достатній для перевірки відповідності формул у CNF?

Справді!

— Удай Редді
джерело

Дякую Удай. Одне запитання: Правило скорочення все ще зберігає пропозиції з початкової формули раунду в наступному. У резолюції вони "оптимізовані" за допомогою лише одного застереження. Чи погоджуєтесь ви, що ця резолюція є мінімальним або локальним правилом через те, що всі пункти не містять правила?

— Vijay D

@VijayD. Ми використовуємо саме правило "cut", але по-різному від Gentzen. Докази Генцена мали б форму

⊢ C

${} \vdash C$

S ⊢ C

${\cal S} \vdash C$

Ви можете також додати до своєї відповіді те, що, на вашу думку, є односкладним, точним описом повноти резолюції?

— Vijay D

@VijayD. У моїй оригінальній відповіді було два твердження "якщо і тільки якщо", які були двома властивостями повноти. Для наочності я виділив їх як пропозиції для вас. (Я ще не впевнений, де криється ваша плутанина. Можливо, це стосується мови, з якою ми працюємо, як мав на увазі Каве?)

— Uday Reddy,

@VijayD. Я не думаю, що можна сказати, що резолюція "неповна". Все, що ви сказали у своєму первісному запитанні, було те, що перетворення, необхідні для перетворення пропозиційних формул у формулярну форму, для вас "незадовільні". Це не означає, що вони "неповні".

— Удай Редді,

1)

Єдине неструктурне правило - роздільна здатність (щодо атомів).

\frac{φ \lor C, ψ \lor \bar{C}}{φ \lor ψ}

$\varphi\lor C, \psi\lor \overline{C} \over \varphi\lor \psi$

Однак правило саме по собі не дає системи підтвердження. Дивіться частину 3.

2)

$\{\land, \lor, \lnot\}$ $\{\land, \lor, \lnot\}$

Поки є "приємний" переклад з однієї мови на іншу, ми можемо говорити про повноту. По суті, це те, що ми можемо перекладати формули з однієї в іншу і навпаки ефективно. Ви можете перевірити дисертацію Роберта Рекхау, де він займається питанням сполучних та показує, що для систем Frege довжина доказів не змінюється більше, ніж поліном, тому в певному сенсі вибирати будь-який набір відповідних сполучників, які вам подобаються.

Ситуація для врегулювання схожа. За допомогою скорочення від SAT до 3SAT ми можемо обмежити свою увагу на CNF, і трансформацію можна зробити дуже ефективно.

Зауважте, що рішення тут не одне, проблема стосується і інших систем підтвердження. Візьмемо для прикладу Fregeed-Depth Frege, де глибина формул повинна бути обмежена постійною, тому за визначенням вона не може довести жодних сімей формул без обмеженої глибини.

3)

$P$ $\vdash_P$

$\vdash_P$ $\varphi$ $\pi$ $\pi$ $P$ $\varphi$
$P$ $\varphi$ $\varphi$
$\varphi$ $P$ $\varphi$

Визначення дуже загальне і зовсім не говорить про структуру доказу. Все, що задовольняє цим умовам, - це система доказів.

Який клас формули слід розглядати в цих пунктах? Були розглянуті різні класи формул, і першим зверненням до проблеми, про яку я знаю, є теза Роберта Рекхау, де він показує, що якщо хтось стосується систем Frege, не має значення, який адекватний набір сполучників використовується, усі вони рівнозначні.

Що стосується роздільної здатності, якщо дійсно хочеться мати повноту стосовно всіх формул, а не лише CNF, можна без перешкод включити фіксований переклад багаточленного часу з довільних формул в CNF в систему перевірки, оскільки переклад обчислюється в поліноміальний час.

$\pi$ $\bot$ $\lnot \varphi$

4)

Роздільна здатність є прекрасною, як є, однак можна також думати про неї так, як ви згадали, тобто, звичайно, ми можемо вважати це як правильне скорочення, коли формула розрізу є позитивними атомами, переміщуючи негативні атоми до попереднього і зберігаючи позитивні в наступних:

\frac{\Rightarrow φ, C C \Rightarrow ψ}{\Rightarrow φ, ψ}

$\Rightarrow \varphi, C \hspace{1cm} C \Rightarrow \psi \over \Rightarrow \varphi, \psi$

$G$

ps: Моя відповідь в основному з теоретичної складності доказування. Ви можете перевірити інші точки зору, такі як теорія структурних доказів .

Список літератури:

Роберт А. Рекхау, « Про тривалість доказів у пропонованому обчисленні », 1976.

— Каве
джерело

Дякую за вашу відповідь. Я бачу, як Удай говорить подібні речі, але я виявив, що міг легше слідувати за його відповіддю.

— Vijay D

@VijayD, звичайно, немає проблем. :)

— Kaveh