Стан в нижніх межах схеми для полілогічно обмежених схем глибини

$AC^{0}$$p$$AC^{0}[q]$$AC^0[q]$$q$$\gcd(p,q)=1$. Однак отримання результатів конкретних нижніх меж на полілогоарифмічних глибинних схемах здається недосяжним за допомогою класичних методів, таких як обмеження входів та наближення поліномів до кінцевих полів.

Я знаю документ STOC'96, який веде до теорії геометричної складності і який показує, що ефективне паралельне обчислення з використанням операцій без біт-розумних не може обчислити задачу про мінімальну витрату.

Це означає, що в певних обмежених налаштуваннях ми можемо довести нижчі межі для якоїсь проблеми, що завершує$NC$$P$

По-перше, чи існують інші методи чи прийоми, які можуть бути правдоподібними підходами для доведення нижньої межі полілогіармічної схеми глибини?

По-друге, наскільки корисне наступне твердження для теоретичної спільноти?

Розмір ланцюга обчислює булеву функцію , принаймні , де - деяка математична величина залежно від твердості цільова функція . Значення може бути, наприклад, комбінаторною величиною, як невідповідність, лінійною алгебраїчною величиною, як ранг певного типу матриці над полем, або якоюсь абсолютно новою величиною, яка раніше не використовувалася в теорії складності.$NC$$f\colon\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$$l$$l$$f$$l$

Щодо методів доведення нижньої межі глибини полі-логотипу, всі поточні підходи працюють у обмежених налаштуваннях. Наприклад, у роботі, що веде до GCT, яку ви згадуєте, нижня межа застосовується до обмеженої моделі PRAM без бітових операцій.

Згідно з іншим обмеженням, яке є монотонним обмеженням для монотонних булевих функцій, існує спільний аналіз Фур'є (або нумеро-комбінаторний) для доказу монотонних нижчих меж глибини ланцюга, в моїй спільній роботі з Аароном Потехіном ( ECCC та STOC ). Це покращується на більш ранніх результатах Ran Raz та Pierre McKenzie, що розширює рамки комунікаційних ігор Маурісіо Карчмера та Аві Вігдерсона щодо глибини схем.

Інший напрямок досліджень для розширення гри Карчмера – Вігдерсона був запропонований як ігорна комунікаційна гра Скоттом Ааронсоном та Аві Вігдерсоном, розширення якого на протокол, що конкурує, і пропонується як підхід до відокремлення NC від P Гіллатом Колом та Раном Раз ( ECCC та ITCS ).

Крім вивчення синтаксичного обмеження монотонності, існує підхід до вивчення семантичного обмеження, пов’язаного з гальковими іграми (які називаються бережливими програмами розгалуження) Стівена Кука, П'єра Маккензі, Дастіна Вер, Марка Бравермана та Рахула Сантанам. Існує сильна нижня межа під ощадливим обмеженням Дастіна Вера, що відповідає найвідомішій верхній межі для проблем, повних P. Ці результати стосуються детермінованої складності простору, яка знижує межі паралельного часу або глибини ланцюга за відомими результатами моделювання (наприклад, з часу ).$\text{AlternatingTime}[t] \subseteq \text{DeterministicSpace}[t]$

Щодо питання, що стосується розміру та глибини ланцюгів, може бути пов'язаний наступний підхід. Річард Ліптон та Райан Вільямс показують, що, враховуючи досить сильну нижню межу по глибині (тобто ), нижня межа слабкого розміру (тобто n 1 + Ω ( 1 ) ) може відокремити NC від P. Цей результат випливає з аргументу на користь розміру, заснованого на моделюванні блоку. Попередній результат по глибині торгів за розмір пояснюється Аллендером і Коуккі, заснованим на ідеї самозаниженості, але він вивчав менші класи складності, такі як NC 1 і NL.$n^{1-O(1)}$$n^{1+\Omega(1)}$$^1$

Зауважимо, що серед вищезазначених підходів деякі з них враховують як розмір, так і глибину ланцюгів, а інші підходи розглядають лише глибину ланцюга. Зокрема, напівалгебро-геометричний підхід Малмулі , конкуруючий протокольний підхід, вивчений Кол – Разом , і підхід на користь розміру Аллендера – Коукі та Ліптона – Вільямса стосуються як розміру, так і глибини схем. Результати в Чан-Потехін , Раз-Маккензі , Кук – Маккензі – Вер — Браверман – Сантанам і Вер дають нижню межу глибини ланцюга при обмежених налаштуваннях незалежно від розміру. Також, згадана комунікаційна граАаронсон – Вігдерсон стосується лише глибини ланцюга.

Ми досі узгоджуємося з нашими знаннями, що певну задачу, повну P, не можна обчислити за допомогою мікросхем малої глибини (тобто ), незалежно від розміру. Якщо розмір не має значення для ланцюгів малої глибини (обмеженого вентилятора), то, можливо, має сенс зосередитись більше на глибині ланцюга, ніж орієнтуватися на розмір малих глибинних ланцюгів.$\log^{O(1)}n$

Після пропозиції Каве, я викладаю свій коментар як (розширену) відповідь.

Щодо $Q1$ , то слово обережності є в порядку: навіть логарифмічна глибина, якщо далеко не зрозуміла, не кажучи про полі-логарифмічну. Отже, у немонотонному світі справжня проблема набагато менш масштабна:

Проблема поглиблення журналу "Проблема": Доведіть суперлінійну нижню межу для мікросхем . $NC^1$

Проблема залишається відкритою (зараз більше 30 років) навіть для лінійних схем . Це схеми фаніна- 2 над основою { ⊕ , 1 } , і вони обчислюють лінійні перетворення f ( x ) = A x над G F ( 2 ) . Легкий підрахунок показує, що майже для всіх матриць A потрібні ворота Ω ( n 2 / log n ) на будь-якій глибині. $NC^1$$2$$\{\oplus,1\}$$f(x)=Ax$$GF(2)$$A$$\Omega(n^2/\log n)$

Щодо $Q2$ : Так, у нас є кілька алгебраїчних / комбінаторних заходів, нижні межі яких могли би бити схеми глибини журналу. На жаль, поки що ми не можемо довести досить великих меж щодо цих заходів. Скажімо, лінійний - схем, такий захід є жорсткість R ( г ) матриці А . Це найменша кількість записів A, яку потрібно змінити, щоб зменшити ранг до r . Неважко показати, що R A ( r ) ≤ ( n $NC^1$ $R_A(r)$$A$$A$$r$ справедливі для кожної булевої n × n матриці A , і Valiant (1977) показав, що ця межа є щільною майже для всіх матриць. Для побиття ланцюгів глибини журналу досить виставити послідовність булевих n × n матриць A таким, що$R_A(r)\leq (n-r)^2$$n\times n$$A$$n\times n$$A$

для констант ϵ , δ > 0 . $R_A(\epsilon n)\geq n^{1+\delta}$$\epsilon,\delta>0$

The best we know so far are matrices $A$ with $R_A(r)\geq (n^2/r)\log(n/r)$. For Sylvester matrices (i.e. inner product matrices), the lower bound of $\Omega(n^2/r)$ is easy to show.

We have combinatorial measures for general (non-linear) $NC^1$-circuits, as well For a bipartite $n\times n$ graph $G$, let $t(G)$ be the smallest number $t$ such that $G$ can be written as an intersection of $t$ bipartite graphs, each being a union of at most $t$ complete bipartite graphs. To beat the general log-depth circuits, it would be enough to find a sequence of graphs with

$t(G_n)\geq n^{\epsilon}$ for a constant $\epsilon >0$

(see, e.g. here on how this happens). Again, almost all graphs have $t(G)\geq n^{1/2}$. However, the best remains a lower bound $t(G)\geq \log^3 n$ for Sylvester matrices, due to Lokam.

Finally, let me mention that we even have a "simple" combinatorial measure (quantity) a weak (linear) lower bound on which would yield even exponential(!) lower bounds for non-monotone circuits. For a bipartite $n\times n$ graph $G$, let $c(G)$ be the smallest number of fanin-$2$ union ($\cup$) and intersection ($\cap$) operations required to produce $G$ when starting from stars; a star is a set of edges joining one vertex with all vertices on the other side. Almost all graphs have $c(G)=\Omega(n^2/\log n)$. On the other hand, a lower bound of

$c(G_n)\geq (4+\epsilon)n$ for a constant $\epsilon>0$

would imply a lower bound $\Omega(2^{N/2})$ on the non-monotone circuit complexity of an explicit boolean function $f_G$ of $N$ variables. If $G$ is $n\times m$ graph with $m=o(n)$, then even a lower bound $c(G_n)\geq (2+\epsilon)n$ is enough (again, see, e.g. here on how this happens). Lower bounds $c(G)\geq (2-\epsilon)n$ can be shown for relatively simple graphs. The problem, however, is to do this with "$-\epsilon$" replaced by "$+\epsilon$". More combinatorial measures lower-bounding circuit complexity (including the $ACC$-circuits) can be found in the book.

P.S. So, are we by a constant factor of $2+\epsilon$ from showing $P\neq NP$? Of course - not. I mentioned this latter measure $c(G)$ only to show that one should treat "amplification" (or "magnification") of lower bounds with a healthy portion of skepticism: even though the bounds we need look "innocently", are much smaller (linear) than almost all graphs require (quadratic), the inherent difficulty of proving a (weak) lower bound may be even bigger. Of course, having found a combinatorial measure, we can say something about what properties of functions make them computationally hard. This may be useful for proving an indirect lower bound: some complexity class contains a function requiring large circuits or formulas. But the ultimate goal is to come up with an explicit hard function, whose definition does not have an "algorithmic smell", does not have any hidden complexity aspects.