твердість наближення хроматичного числа в графах із обмеженим ступенем

12

Я шукаю результати твердості на вершинні забарвлення графіків з обмеженим ступенем.

Враховуючи графік , ми знаємо, що для будь-якого важко наблизити в межах коефіцієнта якщо [ 1 ]. Але що робити, якщо максимальний ступінь обмежений ? Чи є в цьому випадку коефіцієнти твердості форми (для деяких )? $G(V,E)$ $\epsilon>0$ $\chi(G)$ $|V|^{1-\epsilon}$ $\textit{NP}=\textit{ZPP}$ $G$ $d$ $d^{1-\epsilon}$ $\epsilon$

Простіше питання: Жорсткість наближення реберно-хроматичної кількості гіперграфів, коли їх розмір ребра обмежений . Чи можна сподіватися на коефіцієнт твердості у цьому випадку? (скажімо, для будь-якого ) $d$ $d^{1-\epsilon}$ $\epsilon >0$

Дякую за увагу!

— afshi7n
джерело

3

ви можете зафіксувати жорсткий екземпляр з ізольованими вершинами

— Сашо Ніколов

2

Так, але якщо ви поставите обмежене обмеження на розмір жорсткого екземпляра, з якого ви починаєте, це перестане бути важким.

— Девід Еппштейн

1

@Sasho Як можуть допомогти відокремлені вершини, коли вони не збільшують ані хроматичне число, ані максимальну ступінь?

— afshi7n

2

@DavidEppstein впевнений, що ця підкладка лише щось доводить, якщо

і

все ще пов'язані між собою. ОП, саме в цьому і полягає справа. ви починаєте з екземпляра з

вершин (так що максимум ступеня не більше

), для яких важко наблизити

до

. додати

ізольованих вершин.

залишається однаковою, а максимальна -

. це політій, якщо

. тому для будь-якого цілого

n

$n$

d

$d$

d

$d$

d

$d$

χ

$\chi$

d^{1 - ϵ}

$d^{1-\epsilon}$

n - d

$n - d$

χ

$\chi$

d

$d$

N = d^{O (1)}

$N = d^{O(1)}$

k

$k$ , існують випадки з максимальним ступенем

для яких важко наблизити

до

d = n^{1 / k}

$d = n^{1/k}$

χ

$\chi$

d^{1 - ϵ}

$d^{1-\epsilon}$

— Сашо Ніколов

Оновлення: NP-важко наблизити

в межах коефіцієнта

без зайвих припущень.

χ (G)

$\chi(G)$

| V |^{1 - ϵ}

$|V|^{1-\epsilon}$

— Киріак Антоній,

9

Як Девід зазначив, папір Хот, в «Покращені результати Inapproximability для MaxClique, хроматичного числа і наближеною розмальовки графа», теорема 1.6, говорить , що це NP-важко кольорово -раскрашіваемого граф з квітами для графіки зі ступенем не більше , при досить великий постійної . Іншими словами, для графіків ступеня важко розфарбувати $K$ $2^{\Omega((\log K)^2)}$ $2^{2^{(\log K)^2}}$ $K$ $d$ кольоровий графік зкольорами. $2^{\sqrt{\log\log d}}$ $\log d$

Для кращого обмеження ступеня, ви, ймовірно, можете використовувати ідеї з статті Тревісана "Результати неприближеності для проблем оптимізації на обмежених примірниках ступеня". Ключове зауваження полягає в тому, що графік, отриманий зменшенням FGLSS, є об'єднанням повних двопартійних підграфів, і кожен з них може замінити двостороннім диспергатором, який значно рідший. Подібна ідея використовується в багатьох результатах, таких як Чан http://eccc.hpi-web.de/report/2012/110/ , теорема 1.4 / додаток D.

Я думаю , що це повинно дати вам що - щось на зразок на кольорові графіки ступеня, обмежені, NP важко пофарбувати їх кольорамидля деякої постійної. $2^{\sqrt{c\log d}}$ $d$ $d^{c}$ $0<c<1$

Ступінь, зв'язана у згаданій роботі Майкла, схожа на Хотську, а саме експоненціальність випадку обгрунтованості. Звичайно, вищезазначений підхід до розщеплення також покращує це, але, ймовірно, не дасть кращої константи для ваших цілей.

— сангсія
джерело

Дякуємо за корисну відповідь, Sangxia. Отже, з паперу Хота ми могли б означати коефіцієнт твердості

. Я думаю, використовуючи покращення у вашій роботі, ми можемо покращити цей коефіцієнт твердості до

2^{Ω (\log \log d)}

$2^{\Omega(\log \log d)}$

. Це правильно?

2^{2^{Ω (\sqrt{\log \log d})}}

$2^{2^{\Omega(\sqrt{\log \log d})}}$

— afshi7n

@ afshi7n Параметри тут трохи складні. Зазначений у міру ступеня, робота Хота дає

. У моєму документі наведено приблизно

. Ми можемо покращити ступінь графіка скорочення з підходом Тревізана. Я вважаю, що це дає вам

. До цих пір потрібна досить велика константа

.

\log d / 2^{\sqrt{\log \log d}}

$\log d / 2^{\sqrt{\log \log d}}$

\log d / (\log \log d)^{3}

$\log d / (\log\log d)^3$

d^{c}

$d^c$

d

$d$

— sangxia

1

Бачу, дякую! Я також запитав хоти по електронній пошті, він направив мене до цієї статті siam.org/proceedings/soda/2011/SODA11_124_guruswamiv.pdf , яку я вважаю , дає

припускаючи 2-1 гіпотези Хот в.

d^{c}

$d^c$

— afshi7n

8

Найвідоміша твердість наближення хроматичного числа колоритних графіків із обмеженим максимальним ступенем пояснюється Венкатесаном Гурусвамі та Сандєєвим Ханною. Про твердість 4-х забарвлень 3-х кольорових графіків : $3$

Існує константа така, що для колоритного графіка з максимальним ступенем не більше , це NP-важко пофарбувати, використовуючи всього кольори. $\Delta$ $3$ $\Delta$ $4$

— vb le
джерело

8

У статті FOCS'01 Хота, "Покращені результати неприкладності для MaxClique, хроматичного числа та приблизного розфарбування графіка", є непереборливий результат фарбування графіків обмежених ступенів - це, мабуть, слабше, ніж ви хочете, але, принаймні, у правильному напрямку.

Він доводить , що для параметра (передбачається постійної), а для -хроматіческого графів ступеня , це NP-важко знайти розмальовок , що використання кольори. Отже, з точки зору ступеня важко пофарбувати коефіцієнт , але таке ж коефіцієнт невмілості є також суперполіноміальною функцією хроматичного числа. $k$ $k$ $2^{k^{O(\log k)}}$ $\exp((\log k)^2/25)$ $d$ $O(\log d)$

— Девід Еппштейн
джерело

Девід, дякую за вашу відповідь. Так, я бачив їх результат, але сподіваюся отримати коефіцієнт твердості краще, ніж

. Я думаю, що цього може бути простіше досягти у другій задачі, тобто наближенні крайової хроматичної кількості гіперграфів ..

\log d

$\log d$

— afshi7n

Чому б не попросити Хота?

— Чандра Чекурі

1

@chandra Щойно надіслав електронний лист і попросив його, дякую за пропозицію! Я оновлюсь тут, якщо почую.

— afshi7n

На насправді, цитується стаття доводить Хот розрив між K-розфарбовуваним і

-раскрашіваемим графа (НЕ

. Це недавно була покращена за рахунок Huang до

в документ, який з’явиться в наступному документі STOC. ( arxiv.org/abs/1301.5216 )

k^{\log k / 25}

$k^{\log k/25}$

\exp ((k \log k) / 25)

$\exp((k\log k)/25)$

2^{k^{1 / 3}}

$2^{k^{1/3}}$

— Michael Lampis

Чому ви вважаєте, що

та

являють собою різні величини? Або я неправильно трактую неоднозначне пріоритет оператора формули Хота?

k^{(\log k) / 25}

$k^{(\log k)/25}$

\exp ((k \log k) / 25)

$\exp((k\log k)/25)$

— Девід Еппштейн

4

Цей результат може бути корисним:

Емден-Вайнерт, Хоґарді та Кройтер довели, що визначаючи, чи має графік з максимальним ступенем забарвлення за допомогою $\Delta$ $k=$ кольорів є NP-повним () $\Delta - \sqrt\Delta +1$ $k\ge 3$

T. Emden-Weinert, S. Hougardy, B. Kreuter, Унікально кольорові графіки та твердість кольорових графіків великого обхвату, Комбін. Імовірно. Обчислення. 7 (4) (1998) 375–386

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело