Про зворотній 3-SAT

Контекст : Кавадіас і Сидері показали, що зворотна 3-SAT проблема є coNP завершеною: Дано набір моделей на змінних, чи існує така формула 3-CNF, що - це її точний набір моделей? Виникає формула негайного кандидата, яка є поєднанням усіх 3-х статей, задоволених усіма моделями в .n ϕ $\phi$$n$$\phi$$\phi$

Оскільки він містить усі 3-ти пункти, з яких випливає, ця формула-кандидат може бути легко перетворена в еквівалентну формулу яка є 3-закритою за роздільною здатністю. 3-закриття формули - це підмножина її закриття під роздільною здатністю, що містить лише пункти розміром 3 або менше. Формула CNF закрита під роздільною здатністю, якщо всі можливі роздільні рішення підпадають під формулу формули - пункт підпадає під застереження якщо всі літерали знаходяться в . c 1 c 2 c 2 c $F_{\phi}$$c_1$$c_2$$c_2$$c_1$

Враховуючи , часткове призначення змінних таким чином, що не є підмножиною жодної моделі .I $I$$I$$\phi$

Виклик , індукована формула, застосувавши до : Будь-який пункт, що містить літерал, який оцінює під , видаляється з формули, а будь-які літерали, які оцінюють як під , видаляються з усіх пунктів. I F ϕ t r u e I f a l s e $F_{\phi|I}$$I$$F_{\phi}$$true$$I$$false$$I$

Назвіть , формулу, що випливає з усіма можливими 3-обмеженими роздільними здатностями (в яких роздільний резонанс і операнди мають щонайбільше 3 літерали) і підпункти. F ϕ | $G_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$

Питання : Чи 3-закритий під роздільною здатністю?$G_{\phi|I}$

Відповідь: Так (навіть якщо є підмножиною якоїсь моделі )$I$$\phi$

Нехай сукупність пунктів, які походять від за всіма можливими 3-обмеженими роздільними можливостями і підпунктами ( - 3-обмежене закриття ). З огляду на застереженням, яке мається на увазі , існує принаймні один підмножина , під пунктами якого . Назвіть такий підмножина. F ϕ ∪ F ϕ | I R | I F ϕ ∪ F ϕ | I c F ϕ R | I c R $R_{|I}$$F_{\phi} \cup F_{\phi|I}$$R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$F_{\phi}$$R_{|I}$$c$$R_c$

Нехай наступне властивість: Для всього мається на увазі такого, що ,c F ϕ | c | Я | ≤ $P(k)$$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}| \le 3$

| R c | ≤ k ⇒ c | I ∈ G ϕ | Я$[\exists R_c \subseteq R_{|I}$ такий, що підпадає під деякий пункт$|R_c|\le k \Rightarrow c_{|I}$$\in G_{\phi|I}]$

Тут починається рецидив. З урахуванням мається на увазі такий, що , тобто 3-закритті .F ϕ | c | Я | ≤ 3 с | I ∈ F ϕ | $c$$F_{\phi}$$|c_{|I}|\le 3$$c_{|I} \in$$F_{\phi|I}$

1. ∃ R c ⊆ R | I / | R c | = 1 R c = { d } d ∈ F ϕ ∪ F ϕ | I c c | I d | I ∈ F ϕ | I F ϕ | I G ϕ | I P ( 1 $k=1$ . Якщо тоді ( підсилює ) і заміщено (зауважимо, що будь-який пункт підпадає під деякий пункт ). Таким чином .$\exists R_c \subseteq R_{|I} / |R_c|=1$$R_c=\{d\}$$d \in F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$c_{|I}$$d_{|I} \in F_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$$G_{\phi|I}$$P(1)$

2. Припустимо, для . Якщо такий, що (а жоден інший розміром 1 такий, що і ) тоді припустимо, що де це літерали, не встановлені а - це підмножина літералів, які оцінюються як 0 під , тобто , причому необов'язково відрізняються. k ≥ 1 ∃ R c ⊆ R | Я | R c | ≤ k + 1 R c c ∉ F ϕ | c | > 3 c = ( α β γ L I ) α , β , γ I L I I ( L I ≠ ∅ ) c | I$P(k)$$k\ge1$$\exists R_{c}\subseteq R_{|I}$$|R_{c}|\le k+1$$R_{c}$$c\notin F_{\phi}$$|c|>3$$c=(\alpha \beta \gamma L_{I})$$\alpha ,\beta ,\gamma$$I$$L_{I}$$I (L_I \neq \varnothing)$α , β , $c_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\alpha ,\beta ,\gamma$

3. Видаліть з пункт таким, що , інакше кажучи, такий, що містить деякий літерал з (у є принаймні один такий пункт, оскільки ) та . R c | д я | Я | < | д я | ≤ 3 d i L I R c L I ≠ ∅ | д я | Я | ≤ $d_{i}$$R_{c}$$|d_{i|I}|<|d_{i}|\le3$$d_{i}$$L_{I}$$R_{c}$$L_I \neq \varnothing$$|d_{i|I}|\leq 2$

4. Розмір залишкового набору становить . Якщо певний пункт мається на увазі через (де - підмножина літералів, які всі оцінюють 0 під ), тоді і такий, що . За , потім підкладається деяким пунктом , що спонукає для . ≤ k c ′ = ( α β γ L ′ I ) R c ∖ d i L ′ I I | c ′ | Я | = 3 ∃ R c ′ = R c ∖ d i ⊆ R | Я | R c ′ | ≤ k P ( k ) $R_{c}\setminus d_{i}$$\le k$$c'=(\alpha \beta \gamma L'_{I})$$R_{c}\setminus d_{i}$$L'_{I}$$I$$|c'_{|I}|=3$$\exists R_{c'}=R_{c}\setminus d_{i}\subseteq R_{|I}$$|R_{c'}|\le k$$P(k)$∈Gϕ| IP(k+1)$c'_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\in G_{\phi|I}$$P(k+1)$$c$

5. Якщо містить або або то марно означати [деякий пункт, що підключається] . Тоді означає , індукуючи як показано раніше.ˉ α ˉ β ˉ γ d i | I c R c ∖ d i c P ( k + 1 $d_{i|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}$$c$$R_{c}\setminus d_{i}$$c$$P(k+1)$

6. Якщо підсидає тоді виконується для . c | I P ( k + 1 ) $d_{i|I}\in F_{\phi|I}$$c_{|I}$$P(k+1)$$c$

7. Якщо не містить і не містить або або то або або або , де і і не встановлені , а . c | I ˉ α ˉ β ˉ γ d i | I = ( x ) d i | I = ( a x ) d i | I = ( x y ) x y ∉ { α β γ } I a ∈ { α β γ $d_{i|I}$$c_{|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}=(x)$$d_{i|I}=(ax)$$d_{i|I}=(xy)$$x$$y$ $\notin\{\alpha \beta \gamma \}$$I$$a \in\{\alpha \beta \gamma \}$

   • Якщо тоді має на увазі (нагадаємо, що під певним пунктом означає, що мається на увазі пункт, який містить підпис ). Оскільки будь-яка роздільна здатність з як операнд видаляє з іншого операнда, то жоден пункт містить (оскільки що є 3-обмеженим закриттям ). Тоді означає , індукуючиR c ∖ d i ( ˉ x α β γ L I ) C C d i | I = ( x ) ˉ x R c ∖ d i ˉ x R c ∖ d i ⊆ R | I F ϕ ∪ F ϕ | I R c ∖ $d_{i|I}=(x)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$C$$C$$d_{i|I}=(x)$$\bar{x}$$R_{c}\setminus d_{i}$$\bar x$$R_{c}\setminus d_{i} \subseteq R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$ (αβγ L I )P(k+1$R_{c}\setminus d_{i}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$ як показано в пункті (4).

   • Якщо то означає . Замінити по в кожному можливому пункті (якщо новий пункт підводяться деяким пунктом в ., Тримати підведення пункту замість Під всякому разі, заміна пункт знаходиться в ). Назвіть отриманий набір ( ). Тоді має на увазі , індукуючи як вище.R c ∖ d i ( ˉ x α β γ L I ) ˉ x a R c ∖ d i R | I R | I R c , d i R c , d i ⊆ R | I R c , d i ( α β γ $d_{i|I}=(ax)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$a$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$$R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$P(k+1$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • Якщо тоді означає і . Замініть на у кожному можливому пункті (як вище, якщо новий пункт заміщений якимось пунктом у , замість цього збережіть пункт пропущення). Назвіть отриманий набір ( ). Тоді означає . Оскільки це також означає то це передбачає роздільну здатністьR c ∖ d i ( ˉ x α β γ L I ) ( ˉ y α β γ L I ) ˉ x y R c ∖ d i R | I R c , d i R c , d i ⊆ R | I R c , $d_{i|I}=(xy)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$y$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$ (yαβγLI)( ˉ y αβγLI)(αβγLI)P(k+1$R_{c,d_{i}}$$({y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$ , індукуючи .$P(k+1)$

За цим повторенням будь-яке застереження 3-закритті підпадає під деяке застереження (інший спосіб також має місце). Тоді відповідає 3-зачиненню .F ϕ | I ∈ G ϕ | I G ϕ | I F ϕ | $\in$$F_{\phi |I}$$\in G_{\phi|I}$$G_{\phi|I}$$F_{\phi |I}$

Я не бачу, як можна обчислити це в поліноміальний час, оскільки сама резолюція займає експоненціальний час (в гіршому випадку). Наприклад, формула вашого кандидата 3-CNF наведена нижче: Тоді результатом дозволу на є формула нижче: Таким чином, формула наведена нижче: Р 1 Р 1 : = { { , Ь , з } , { д , е , ¬ з } , { , ¬ б , е } , { д , е , ¬ е } } F 1 F 2 F 2 : = { { a , b , c } $F_\phi$$F_1$

Однак, як ви бачите, для отримання остаточного пункту у слід спочатку отримати всі чотири буквальні пропозиції. Отже, я не бачу жодного способу позбутися від експоненціально багатьох кроків для вирішення. Дійсно, для деяких проблем, таких як принцип голубого отвору, ми знаємо, що розв’язання не може вирішити його менш ніж в експоненціально багатьох кроках (але, якщо чесно, наскільки я знаю, ці приклади не у формі 3-CNF та інтелектуальному дозволі може існувати тоді, коли гарантія введена у формі 3-CNF).$F_\phi$