розріз і полярність пі-типів

18

У нещодавній темі в списку розсилки Агди з'явилося питання про $\eta$ закони, в якому Пітер Хенкок зробив замислене зауваження .

Я розумію, що $\eta$ закони бувають негативних типів, тобто. сполучники, правила введення яких необоротні. Щоб вимкнути $\eta$ для функцій, Хенк пропонує замість звичайного правила застосування використовувати елімінатор на замовлення, funsplit . Я хотів би зрозуміти зауваження Хенка з точки зору полярності.

Наприклад, є дві $\Sigma$ типи презентації . Існує традиційний елімінатор розколу Мартін-Леф у позитивному стилі:

\begin{array}{l} Γ ⊢ f : (а : А) (б : Б а) \to С (а, б) \\ Γ ⊢ p : Σ а : А . Б \\ Γ ⊢ с p л i т f p : С p \end{array}

$\begin{array}{l} \Gamma \vdash f : (a : A)(b : B\: a) \to C (a , b) \\ \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \mathrm{split}\: f\: p : C\: p \end{array}$

І є негативна версія:

\begin{array}{l} Γ ⊢ p : Σ а : А . Б \\ Γ ⊢ π_{0} p : А \end{array} \begin{array}{l} Γ ⊢ p : Σ а : А . Б \\ Γ ⊢ π_{1} p : Б [π_{0} p / а] \end{array}

$\begin{array}{l} \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \pi_0\: p : A \end{array} \qquad \begin{array}{l} \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \pi_1\: p : B[\pi_0\: p / a] \end{array}$

Ця остання презентація дозволяє легко отримати $\eta$ для пар, тобто. $(\pi_0 p , \pi_1 p) == p$ для будь-якої пари $p$ (де == означає визначену рівність). З точки зору доказовості ця різниця не має значення: інтуїтивно, ви можете реалізовувати проекції з роздвоєним або навпаки.

Тепер, $\Pi$ -типи зазвичай (і, безперечно, я вважаю) сприймаються негативно:

\begin{array}{l} Γ ⊢ f : Π a : A . B \\ Γ ⊢ s : A \\ Γ ⊢ f s : B [s / a] \end{array}

$\begin{array}{l} \Gamma \vdash f : \Pi a : A. B \\ \Gamma \vdash s : A \\ \hline \\ \Gamma \vdash f s : B[s / a] \end{array}$

Що дає нам для функцій: . $\eta$ $\lambda x. f x == f$

Однак у цій пошті Генк згадує елімінатор повного розколу (Програмування в теорії типу ML, [http://www.cse.chalmers.se/research/group/logic/book/], стор.56). Це описується в логічній рамці:

\begin{array}{l} f \in Π (А, Б) \\ С (v) S е т [v \in Π (А, Б)] \\ г (у) \in С (λ (у)) [у (х) \in Б (х) [х \in А]] \\ f у н с p л i т (f, г) \in С (f) \end{array}

$\begin{array}{l} f \in \Pi(A, B) \\ C(v)\: Set [v \in \Pi(A, B)] \\ d(y) \in C(\lambda(y)) [y(x) \in B(x) [x \in A]] \\ \hline \\ \mathrm{funsplit}(f, d) \in C(f) \end{array}$

Цікаво, що Nordstrom та ін. мотивуйте це визначення, сказавши, що "[ця] альтернативна неканонічна форма заснована на принципі структурної індукції". Це твердження відчуває сильний запах позитивності: функції були б "визначені" їх конструктором, . $\lambda$

Однак я не можу повністю зафіксувати задовільне уявлення цього правила в природній дедукції (або, ще краще, послідовне обчислення). (Ab) використання логічної основи для введення здається тут вирішальним. $y$

Отже, чи є funsplit позитивною подачею -типів? Чи є у нас щось подібне в (незалежному) послідовному обчисленні? Як би це виглядало? $\Pi$

Наскільки загальним / цікавим є теоретики доказу на місцях?

— педоганд
джерело

12

Представлення функціонального усунення за допомогою , безумовно, не є звичайним явищем у більшості методів лікування теорії типів. Однак я вважаю, що ця форма справді є «позитивною» презентацією ліквідації функціональних типів. Проблема тут полягає в тому, що вам потрібна форма узгодження вищого порядку, див., Наприклад, Дейл Міллер . $\mathrm{funsplit}$

Дозвольте мені переформулювати ваше правило більш зрозумілим для мене:

\begin{array}{l} Γ ⊢ f : Π x : A . B \\ Γ, z : Π x : A . B ⊢ C : S e t \\ Γ, [x : A] F (x) : B ⊢ e : C {λ x : A . F (x) / z} \\ m a t c h f w i t h λ x : A . F (x) \Rightarrow e : C {f / z} \end{array}

$\begin{array}{l} \Gamma\vdash f : \Pi x:A. B \\ \Gamma, z:\Pi x:A. B\vdash C : Set\\ \Gamma, [x:A]F(x):B\vdash e : C\{\lambda x:A.F(x)/z\}\\ \hline \\ \mathrm{match}\ f\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow e : C\{f/z\} \end{array}$

Там , де є мета-змінна типу в контекстному . $F$ $B$ $x:A$

Правило перезапису стає:

m a t c h λ x : A . t w i t h λ x : A . F (x) \Rightarrow e \to e {t {u / x} / F (u)}

$\mathrm{match}\ \lambda x:A.t\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow e\quad \rightarrow\quad e\{t\{u/x\}/F(u)\}$

Це дозволяє визначити додаток як:

a p p (t, u) = m a t c h t w i t h λ x : A . F (x) \Rightarrow F (u)

$\mathrm{app}(t,u)=\mathrm{match}\ t\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow F(u)$

Крім того, що для цього потрібна «тип логічної системи» типу типів, щоб бути дійсною, клопоти (і обмежена потреба) вищого порядку уніфікації роблять цю формулювання непопулярною.

Однак у літературі є місце, де позитивне / негативне розрізнення є: формулювання логічних предикатів . Два можливих визначення (в одинарному випадку) є

[[Π x : A . B]] = {t ∣ \forall u \in [[A]], t u \in [[B]]_{x \mapsto u}}

$[\![\Pi x:A.B]\!] = \{t\mid \forall u\in [\![ A]\!], tu \in[\![B]\!]_{x\mapsto u} \}$

і

[[Π х : А . Б]] = {т ∣ т \to^{*} λ х . т^{'}, \forall у \in [[А]], т^{'} {у / х} \in [[Б]]_{х \mapsto у}}

$[\![\Pi x:A.B]\!] = \{t\mid t\rightarrow^* \lambda x.t', \forall u\in[\![A]\!], t'\{u/x\}\in[\![B]\!]_{x\mapsto u}\}$

Друга версія зустрічається рідше, але її можна знайти, наприклад, у Dowek та Werner .

— коді
джерело

1

Це, мабуть, пов'язане з абстрактним синтаксисом вищого порядку, який широко використовується в логічній структурі. Зокрема,

здається метафункцією.

F

$F$

— день

13

Ось дещо інша точка зору на відповідь Фредріка. Як правило, так видно, що непередбачувані кодування Церкви типів задовольнять відповідні закони, але не задовольнятимуть закони. $\beta$ $\eta$

Отже, це означає, що ми можемо визначити залежну пару наступним чином:

; Тепер, зверніть увагущо легко визначені у договорі:

\exists х : Х . Y [х] ≜ \forall α : * . (Π х : Х . Y [х] \to α) \to α

$\exists x:X.\;Y[x] \triangleq \forall \alpha:\ast.\; (\Pi x:X.\;Y[x] \to \alpha) \to \alpha$

π_{1}

$\pi_1$

Однак, ви не можете визначити другу проекцію

π_{1} : \exists х : Х . Y [х] \to Х ≜ λ p : (\exists х : Х . Y [х]) . p Х (λ х у . х)

$\pi_1 : \exists x:X.\;Y[x] \to X \triangleq \lambda p:(\exists x:X.\;Y[x]).\;p\;X\;(\lambda x\;y.x)$

- спробуйте! Ви можете визначити лише слабкий елімінатор для цього, саме тому я написав це екзистенціалом.

π_{2} : Π p : (\exists x : X . Y [x]) . Y [π_{1} p]

$\pi_2 : \Pi p:(\exists x:X.\;Y[x]).\; Y[\pi_1\;p]$

Однак друга проекція реалізована , і в параметричній моделі ви можете показати, що вона має і правильну поведінку. (Див. Мій останній проект з Дереком Дрейєром про параметричність в обчисленні конструкцій для отримання детальніше про це.) Тому я вважаю, що проекція принципово вимагає деяких сильних властивостей розширення, щоб мати сенс. $\pi_2$

З точки зору послідовного обчислення, слабкий елімінатор має правило, яке виглядає так:

\frac{Γ, x : X, y : Y [x], Γ^{'} ⊢ e^{'} : C}{Γ, p : \exists x : X . Y [x], Γ^{'} ⊢ l e t (x, y) = p i n e^{'} : C}

$\frac{\Gamma, x:X, y:Y[x],\; \Gamma' \vdash e' : C} {\Gamma, p:\exists x:X.\,Y[x],\; \Gamma' \vdash \mathsf{let}(x,y)=p\;\mathsf{in}\;e' : C}$ Here, the implicit well-formedness conditions imply that

p

$p$ cannot occur free in

Γ^{'}

$\Gamma'$ or

C

$C$ . If we relax that condition, we get the split rule, which has a left-rule that looks like

\frac{Γ, x : X, y : Y [x], [(x, y) / p] Γ^{'} ⊢ e^{'} : [(x, y) / p] C}{Γ, p : \exists x : X . Y [x], Γ^{'} ⊢ l e t (x, y) = p i n e^{'} : C}

$\frac{\Gamma, x:X, y:Y[x],\; [(x,y)/p]\Gamma' \vdash e' : [(x,y)/p]C} {\Gamma, p:\exists x:X.\,Y[x],\; \Gamma' \vdash \mathsf{let}(x,y)=p\;\mathsf{in}\;e' : C}$ That substitution reminds me an awful lot of the Girard/Schroeder-Heister elimination rule for equality. I asked a question about this rule a while back, and David Baelde and Gopalan Nadathur give the state-of-the-art version in their LICS 2012 paper, Combining Deduction Modulo and Logics of Fixed-Point Definitions. I think Conor McBride has spent some time thinking about the relationship between the identity type and the Schroeder-Heister equality, so you might want to see what he thinks.

— Neel Krishnaswami
джерело

1

Мені дуже подобаються всі ці відповіді! Я відчуваю, що існує якесь поняття "самоаналіз" (здатність знати, що термін має значення), що міститься у відповіді Фредріка, що справжнє питання з ета: параметричність передбачає, що інтроспекція передбачає ета.

— коді

10

Річард Гарнер написав чудову статтю про застосування проти funsplit, " Про міцність залежних продуктів у теорії типів Мартіна- Лефа (APAL 160 (2009))", де також обговорюється характер вищого порядку правила funsplit (з посиланням на Природне продовження природної дедукції Пітера Шредера-Хайстера (JSL 49 (1984)).

Річард показує, що за наявності типів ідентичності (та правил формування та впровадження для $\Pi$ types), funsplit is interderivable with the application rule above + propositional eta, i.e. the following two rules:

\frac{m : Π (A, B)}{η (m) : {I d}_{Π (A, B)} (m, λ x . m \cdot x)} (Π -Prop- η)

$\frac{m : \Pi(A,B)}{\eta(m) : \mathsf{Id}_{\Pi(A,B)}(m, \lambda x . m\cdot x)} \qquad (\Pi\text{-Prop-$\eta$)}$

\frac{x : A ⊢ f (x) : B (x)}{η (λ (f)) = r e f l (λ (f)) : {I d}_{Π (A, B)} (λ (f), λ (f))} (Π -Prop- η -Comp)

$\frac{x : A \vdash f(x) : B(x)}{\eta(\lambda(f)) = \mathsf{refl}(\lambda(f)) : \mathsf{Id}_{\Pi(A,B)}(\lambda(f), \lambda (f))} \qquad (\Pi\text{-Prop-$\eta$-Comp)}$

That is, if you have funsplit, you can define application and $\eta$ as above so that $(\Pi\text{-Prop-$\eta$-Comp})$ holds. More interestingly, if you have application and the propositional eta rules, then you can define funsplit.

Крім того, funsplit суворо сильніший за застосунок: правила пропозиції еталони не є визначеними в теорії лише з застосуванням - отже, funsplit не є визначеним, оскільки тоді також будуть пропоновані ета-правила. Інтуїтивно це пов'язано з тим, що правила застосування дають вам трохи більше слабкості: на відміну від funsplit (і ета), вони не кажуть вам, що це за функції, тільки що їх можна застосувати до аргументів. Я вважаю, що аргумент Річарда можна повторити $\Sigma$ також, щоб показати однаковий результат для $\mathsf{split}$ проти прогнозів

Зауважте, що якби у вас були визначені ета-правила, ви, звичайно, мали б їх пропонувати також (з $\eta(m) := \mathsf{refl}(m)$ ). Таким чином, я вважаю ваші твердження "[...], яке нам дає $\eta$ для функцій "і" [...] ця остання презентація спрощує отримання $\eta$ для пар "помиляються. Агда, проте, реалізує $\eta$ як для функцій, так і для пар (якщо $\Sigma$ визначається як запис), але це не випливає з просто програми.

— Фредрік Нордвалл Форсберг
джерело