Знайдіть залишок великого фіксованого многочлена при діленні на малий невідомий многочлен

Припустимо, що ми працюємо в кінцевому полі. Нам дається великий фіксований многочлен p (x) (скажімо, ступеня 1000) над цим полем. Цей многочлен заздалегідь відомий, і нам дозволяється робити обчислення, використовуючи багато ресурсів на "початковій фазі". Ці результати можуть зберігатися у досить невеликих оглядових таблицях.

В кінці "початкової фази" нам буде наданий невеликий невідомий многочлен q (x) (скажімо, ступеня 5 або менше).

Чи існує швидкий спосіб обчислити p (x) mod q (x), враховуючи, що нам дозволяється робити кілька складних обчислень на "початковій фазі"? Один очевидний спосіб - обчислити p (x) mod q (x) для всіх можливих значень q (x). Чи є кращий спосіб зробити це?

Наступні алгоритми добре працюють, якщо в нижньому полі є дуже малий порядок $s$ .

Припустимо, ми знаємо, що є невідворотним, фіксованим ступенем . Тоді, mod , ми знаємо, що виконується. Отже, достатньо попередньо обчислити .$q$$d$$q$$x^{s^d} = x$$p(x) \mod x^{s^d} - x$

Загалом, може розкластись на добуток многочленів . У цьому випадку аналогічний аргумент застосовується до обчислення кожного окремо, а потім результатів. Тому нам дійсно потрібно обчислити для кожного .$q(x)$$q = q_1 \dots q_r$$p$$q_1, \dots, q_r$$p(x) \mod x^{s^{d'}} - x$$d' \leq d$

Я думаю, що існує досить швидкий спосіб зробити це. Нехай коефіцієнти ще невідомого многочлена є , тому де - невелике число. Тепер почнемо обчислювати де , де великий і відомі. Це ми робимо, зменшуючи ступінь, використовуючи рівності як . Врешті-решт ми отримаємо поліном градуса , коефіцієнти якого є поліномами (оскільки$q$$b_i$$q=\sum_{i=0}^d b_ix^i$$d$$p \pmod q$$p=\sum_{i=0}^D a_ix^i$$D$$a_i$$a_Dx^D= \frac {-a_D}{b_d} \sum_{i=1}^{d-1} b_{d-i}x^{D-i}$$<d-1$$b_i$$a_i$відомі). Ці многочлени ми можемо швидко обчислити, коли отримаємо .$q$

Дивіться чудові коментарі до цієї публікації нижче. :)

Попередня обробка; вхід: $p(x)$

1. Фактор як .$p(x)$$p(x)=\prod_{i=0}^{1000} (x_i-r_i)$

2. Збережіть це як таблицю різних коренів та їх відповідної кратності .$T$$r_j$$m_j$

Інтернет-фаза; вхід: $q(x)$

1. Фактор як .$q(x)$$q(x)=\prod_{i=0}^5 (x_i-r'_i)$

2. Зберігайте це як список різних корінців та їх відповідної кратності .$L$$r'_j$$m'_j$

3. У той час як не пустили, видалити наступний корінь / кратність з і будь-яка точка , як в .$L$$L$$T$

4. Зніміть з модифікованої таблиці і виведіть.$p(x)\bmod{q(x)}$$T$

Інші коментарі:

• Очевидно, ви хочете сортувати таблицю і отримати доступ до неї за допомогою двійкового пошуку (або дерева).$T$
• (Нехай - ступінь .) Якщо ви хочете, щоб результат був у представленні коефіцієнтів, ви можете просто зробити купу FFT в кінці, щоб отримати час.$d$$p(x)$$p(x)\bmod{q(x)}$$\tilde{O}(d)$
• Залежно від того, як ви формалізуєте це, ви, ймовірно, можете заздалегідь обчислити безліч різноманітних способів, за допомогою яких ви заздалегідь би рекомбінували терміни в (стиль динамічного програмування), так що більшість (або всі) множень - це лише пошуки. Домінуюча вартість - це кількість перевірок, або приблизно . Якщо , це лише жменька конкретних, арифметичних операцій.$T$$O(\log d)$$d=1000$