Конструктивно ефективні алгоритми без ефективної коректності та доказів ефективності

Я шукаю природні приклади ефективних алгоритмів (тобто в поліноміальний час) st

їх правильність та ефективність можна довести конструктивно (наприклад, у або ), але $PRA$ $HA$
ніяких доказів, що використовують лише ефективні поняття, не відомо (тобто ми не знаємо, як довести їх правильність та ефективність у або ). $TV^0$ $S^1_2$

Я можу самостійно робити штучні приклади. Однак я хочу цікавих природних прикладів, тобто алгоритми, вивчені заради них, а не створені просто для відповіді на подібний тип питань.

— Каве
джерело

Можливо, щось із теорії автоматів, де алгоритм простий, але щоб показати, що він працює, потрібно врахувати всі підмножини того чи іншого?

— Андрій Бауер

Як щодо перевірки первинності багаточленного часу? Цей доказ, ймовірно, буде досить складним, щоб його важко було дотримати всередині ?

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Андрій Бауер

@Neel, насправді теза Еміля « Слабкий принцип голубого отвору та рандомізоване обчислення » стосується формалізації ймовірнісних алгоритмів. Основною аксіомою, необхідною для формалізації деяких із них, здається, є приблизний підрахунок, який не входить до або . Я думаю, що може бути простіше дотримуватися детермінованого політематичного випадку з і .

T V^{0}

$TV^0$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

T V^{0}

$TV^0$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Каве

ps: Було б цікавіше, якщо ми зможемо довести, що правильність / ефективність алгоритмів у цих теоріях не доводиться, або, принаймні, еквівалентні твердженням, які, як вважають, в них недоказуються. Однак просити цього, мабуть, занадто багато того, що ми знаємо в даний час.

— Каве

@Neel, більшість відповідної ймовірності можна зробити в системах першого порядку, оскільки вам ніколи не потрібно точно знати ймовірність події, зазвичай вам потрібно лише порівняти цю ймовірність з певними раціональними числами.

— François G. Dorais

Відповіді:

Це та сама ідея, що і у відповіді Андрія, але з більш детальною інформацією.

Крайчек і Пудлак [ LNCS 960, 1995, с. 210-220 ] показали, що якщо - що визначає праймери в стандартній моделі, а $P(x)$ $\Sigma^b_1$

S_{2}^{1} ⊢ \neg П (х) \to (\exists у_{1}, у_{2}) (1 < у_{1}, у_{2} < х \land х = у_{1} у_{2})

$S^1_2 \vdash \lnot P(x) \to (\exists y_1,y_2)(1 < y_1, y_2 < x \land x = y_1y_2)$ то існує поліноміальний алгоритм факторизації часу. Це дає купу прикладів, оскільки будь-який алгоритм NP для тестування первинності в основному дає таку формулу

. Зокрема, тест первинності AKS дає таку формулу (при належному переробленні мовою

). Доповідь Крайчека та Пудлака дає більше подібних прикладів із криптографією, але вони передують AKS та пов'язаним прогресом протягом кількох років.

Σ_{1}^{b}

$\Sigma^b_1$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Франсуа Г. Дорайс
джерело

$\mathrm{TC}^0$ $\mathit{VTC}^0$

$\mathit{TV}^0$ $\mathit{VTC}^0$ $\mathrm{TC}^0$

$\left(\frac an\right)$

$p$ $\left(\frac ap\right)=1$ $a$ $p$

$S^1_2$

Інший клас прикладів надається алгоритмами тестування невідводимості та факторизації для поліномів (насамперед над кінцевими полями та над раціональними). Вони незмінно покладаються на маленьку теорему Ферма або її узагальнення (серед інших), і як таке, як відомо, не підлягає формалізації у відповідній теорії обмеженої арифметики. Зазвичай ці алгоритми є рандомізованими, але для детермінованих прикладів поліноміального часу можна взяти тест на непридатність Рабіна або алгоритм квадратного кореня Тонеллі-Шенкс (сформульований таким чином, що в якості вхідного сигналу потрібно квадратичне нерезистентність).

— Еміль Єржабек підтримує Моніку
джерело

Тест первинності AKS здається хорошим кандидатом, якщо вірити Вікіпедії.

Однак я б очікував, що такий приклад важко знайти. Існуючі докази будуть сформульовані таким чином, що вони, очевидно, не виконуються в обмеженій арифметиці, але, швидше за все, вони будуть "пристосовані" до обмеженої арифметики з більшими або меншими зусиллями (як правило, більше).

— Андрій Бауер
джерело

S_{2}^{1}

$S^1_2$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

Існує чудовий документ Крайчека та Пудлака, який дає ще багато прикладів: karlin.mff.cuni.cz/~krajicek/j-crypto.ps

— Франсуа Г. Дорайс

@ Франсуа, чому б не опублікувати відповідь? :)

— Kaveh

Отже, я отримую найвищий підсумок за те, що я встиг скоріше вдало здогадатися, а інші насправді знають, що відбувається. Математика подібна до MTV.

— Андрій Бауер