Перетворення Бейгеля-Таруя перекладів ACC

Я читаю додаток про нижчі межі ACC для NEXP в Арорі та книзі обчислювальної складності Барака . http://www.cs.princeton.edu/theory/uploads/Compbook/accnexp.pdf Однією з ключових лем є перетворення з ланцюгів на багатолінійні поліноми над цілими числами з полілогіартичним ступенем та квазіполіноміальними коефіцієнтами, або рівнозначно , клас схеми S Y M + , що представляє собою клас глибини двох ланцюгів з квазіполіномічно багатьма воротами AND на нижньому рівні з полілогіармічним вентилятором і симетричними воротами на верхньому рівні.$ACC^{0}$$SYM^{+}$

У додатку до підручника це перетворення має три етапи, припускаючи, що набір затворів складається з АБО, mod , mod 3 та постійної 1 . Перший крок - звести вентиляцію воріт АБО до полілогіармічного порядку.$2$$3$$1$

Використання Валиант-Вазірані Isolation лемму, автори отримуємо , що даний логічний елемент АБО над входів виду виведення R ( х 1 , . . . , Х 2 K ) , якщо ми вибираємо час бути попарно незалежні хеш - функція , від [ 2 k ] до { 0 , 1 } , то для будь-якого ненульового рівня x ∈ { 0 , 1 } 2 k , з вірогідністю не менше 1 /$2^{k}$$OR (x_{1},...,x_{2^{k}})$$h$$[2^{k}]$$\{ 0,1 \}$$x \in \{0,1\}^{2^{k}}$ буде утримуватися, що Σ i : h ( i ) = 1 x i mod  2 .$1/(10k)$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$

Чи не є ймовірність , по крайней мере 1 / 2 ? Звісно ж , що 1 / 10 K є слабкою нижньою гранню.$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$$1/2$$1/10k$

Другий крок - це переміщення до арифметичних воріт і висунення множин вниз. На цьому кроці ми перетворимо булеві схеми із заданою двійковою вхідною рядком в арифметичну схему з цілим входом.

При цьому вони відзначають , що замінюється на 1 - х 1 х 2 ⋯ х до і М Про Д р ( х 1 , . . . , Х до ) замінюється ( Σ я = 1 , . . . , до й я ) р $OR(x_{1},...,x_{k})$$1-x_{1}x_{2}\cdots x_{k}$$MOD_{p}(x_{1},...,x_{k})$ використовуючи маленьку теорему Ферма.$(\Sigma_{i=1,...,k} x_{i})^{p-1}$

Чому ця заміна дає еквівалентну схему ?$SYM^{+}$

Чи не є ймовірність принаймні 1/2? Здається, що 1 / ( 10 к ) - слабка нижня межа.$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/(10k)$

Насправді відповідь - ні. (Було б , що має місце з ймовірністю принаймні 1 / 2 - е , якщо ми працювали з ї -biased хеш сімейством, і , дійсно , використовуючи ε -biased хеша функції дозволяють поліпшити параметри конструкції. Але парна незалежність необов'язково ε -безпечена.)$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/2-\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$

Здається, тут не вистачає ще одного кроку. Щоб безпосередньо застосувати Valiant-Vazirani, вам також потрібно буде випадково вибрати діапазон хеш-функції. Замість вибору випадкових попарно незалежних , здається, слід вибрати випадкові ℓ ∈ { 2 , … , k + 1 } і потім вибрати випадкові попарно незалежні h : [ 2 k ] → { 0 , 1 } $h : [2^k]\rightarrow\{0,1\}$$\ell \in \{2,\ldots,k+1\}$$h : [2^k]\rightarrow \{0,1\}^{\ell}$$s$$x_i=1$$\ell$$2^{\ell-2} \leq s \leq 2^{\ell-1}$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} = 1$$1/8$

$\ell$$h: [2^k]\rightarrow\{0,1\}^{\ell}$$1/(8k)$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$\ell$$OR$$\ell$$2^k$$1/8$$O(k\log s)$ хеш-функції з діапазоном $\{0,1\}$, ти захочеш $O(k)$ різні набори хеш-функцій (кожен набір має різний діапазон), з $O(\log s)$ хеш-функції в кожному наборі.

Чому ця заміна дає еквівалентну схему SYM +?

SYM з AND (тобто SYM +) ланцюга розмірів $K$ по суті еквівалентний тому, що має багатофакторний многочлен $h : \{0,1\}^n \rightarrow \{0,\ldots,K\}$ with at most $K$ monomials, a lookup table $g : \{0,\ldots,K\}\rightarrow \{0,1\}$, and computing $g(h(x_1,\ldots,x_n))$. (For instance, a proof can be found in Beigel-Tarui.) The intuition is that each monomial in $f$ is an AND gate, and $g$ is the SYM gate. I say "essentially equivalent" because the multilinear polynomial $h$ could also have negative coefficients for some terms, and negative coefficents are not obviously implementable in SYM of AND. But I claim (and Beigel and Tarui claim) that this is not a problem. Think about it :)