Точні експоненціальні часові алгоритми для програм 0-1 з негативними даними

Чи відомі алгоритми для наступної проблеми, яка перемагає наївний алгоритм?

Вхідні дані: матриця і вектори , де всі записи - неотримані цілі числа.$A$$b,c$$A,b,c$

Вихід: оптимальне рішення до \ max \ {c ^ T x: Ax \ le b, x \ in \ {0,1 \} ^ n \} .$x^*$$\max \{ c^T x : Ax \le b, x \in \{ 0,1\}^n \}$

Це питання є вдосконаленою версією мого попереднього питання Точні експоненціальні алгоритми для програмування 0-1 .

якщо кількість ненульових коефіцієнтів в лінійне в , існує алгоритм, який вирішує цю задачу менше ніж за часу.$A$$n$$2^n$

Ось як це працює. Ми використовуємо стандартний зв'язок між оптимізаційною проблемою та відповідною проблемою рішення. Щоб перевірити, чи існує рішення де і , ми сформуємо задачу рішення: ми приєднаємо обмеження до матриці і тестуємо чи існує якийсь такий, що і . Зокрема, ми сформуємо нову матрицю , взявши і додамо додатковий рядок, що містить , і будемо формувати , приймаючи$x$$Ax\le b$$c^T x \ge \alpha$$c^T x\ge \alpha$$A$$x$$Ax \le b$$-c^T x \le -\alpha$$A'$$A$$-c^T$$b'$$b$і примикання додаткового рядка з . Ми отримуємо задачу рішення: чи існує така, що ? Відповідь на цю проблему вирішує, чи існує рішення вихідної проблеми оптимізації значення або більше. Більше того, як пояснено у відповіді на ваше попереднє запитання , цю проблему вирішення можна вирішити менше ніж за часу, якщо кількість ненульових коефіцієнтів у є лінійною в (і, отже, якщо число не- нульові коефіцієнти в лінійні в ). Тепер ми можемо використовувати двійковий пошук на$-\alpha$$x \in \{0,1\}^n$$A' x \le b'$$\alpha$$2^n$$A'$$n$$A$$n$$\alpha$щоб вирішити вашу проблему оптимізації менш ніж за часу.$2^n$

Дякую Остіну Бучанану та Стефану Шнайдеру за те, що вони допомогли налагодити більш ранню версію цієї відповіді.

Якщо ми розглянемо проблему мінімізації $\min_y \{c^T y : Ay \ge b, y \in \{ 0,1\}^n \}$, наступне зменшення показує, що алгоритм працює в часі $O(2^{\delta n/2})$ для $\delta <1$спростує СЕТ. Переформулювання доводить той самий результат для наміченої проблеми (версія максимізації).

Дано екземпляр $\Phi = \wedge_{i=1}^m C_i$ CNF-SAT зі змінними $\{x_j \}_{j=1}^n$, сформулюйте ІП 0-1 з двома змінними $y_j, \overline{y}_j$ для кожної змінної $x_j$в екземплярі SAT. Як завжди, застереження$(x_1 \vee \overline{x}_2 \vee x_3)$ буде представлено як $y_1 + \overline{y}_2 + y_3 \ge 1$. Тоді для кожної змінної$x_j$ в екземплярі SAT додайте обмеження $y_j + \overline{y}_j \ge 1$. Мета - мінімізувати$\sum_{j=1}^n (y_j + \overline{y}_j)$. Мета ІС буде$n$ якщо примірник SAT задоволений.

Дякуємо Стефану Шнайдеру за виправлення.

Оновлення: у розділі Про проблеми настільки ж важкі, як CNF-Sat автори здогадуються, що SET COVER не вдається вирішити вчасно$O(2^{\delta n})$, $\delta <1$, де $n$відноситься до кількості наборів. Якщо це правда, це свідчить про те, що мою проблему неможливо вирішити вчасно$O(2^{\delta n})$ так само.

Оновлення 2. Наскільки я можу сказати, якщо припустити SETH, мою проблему неможливо вирішити вчасно $O(2^{\delta n})$, оскільки було показано, що встановити удар (з основним набором розмірів)$n$) не вдається вирішити вчасно $O(2^{\delta n})$.