Чи існує природне обмеження логіки VO, яке фіксує P або NP?

Папір, документ

• Lauri Hella та José María Turull-Torres, обчислювальні запити з логікою вищого порядку , TCS 355 197–214, 2006. doi: 10.1016 / j.tcs.2006.01.009

пропонує логіку VO, логіку змінного порядку. Це дозволяє здійснювати кількісну оцінку щодо замовлень над змінними. VO є досить потужним і може виражати деякі не обчислювані запити. (Як зазначав Артур Мільхіор нижче, він фактично фіксує всю аналітичну ієрархію .) Автори показують, що фрагмент VO, отриманий, дозволяючи лише обмежену універсальну кількісну оцінку над змінними порядку, точно виражає всі ці запити. VO дозволяє змінним порядку розповсюджуватись на натуральні числа, тому обмеження змінних порядків очевидно є природним умовою.

Чи є (приємний) фрагмент VO, який фіксує P або NP?

Як аналогія, класична логіка першого порядку, що дозволяє визначити кількісне значення на множині об'єктів, дає більш потужну логіку, яка називається логікою другого порядку або SO. ТАК фіксує всю ієрархію поліномів ; це зазвичай пишеться як PH = SO. Існують обмежені форми SO, що фіксують важливі класи складності: NP = SO, P = SO-Horn і NL = SO-Krom. Вони отримуються обмеженням синтаксису дозволених формул.$\exists$

Тож існують прямі способи обмежити SO, щоб отримати цікаві заняття. Мені хотілося б знати, чи існують подібні прямолінійні обмеження VO, які є приблизно правильним рівнем виразності для P або NP. Якщо такі обмеження не відомі, я був би зацікавлений у пропозиціях щодо ймовірних кандидатів або в деяких аргументах, чому такі обмеження навряд чи існують.

Я перевірив (кілька) паперів, які цитують це, і перевірив очевидні фрази в Google і вченому, але не знайшов нічого очевидного актуального. Більшість робіт, що стосуються логіки більш потужних, ніж першого порядку, не здаються обмеженими, щоб знизити потужність у царині "розумних" обчислень, але, здається, зміст мешкає у цій всесвіті арифметичних та аналітичних класів. Я був би задоволений вказівником або неочевидною фразою для пошуку; це може бути добре відомо тому, хто працює у логіці вищого порядку.

Примітка. Це не справді відповідає на питання, це лише деякі коментарі, розміщені як відповідь. :)

$\exists$$PH$$P$$NP$

Чи достатньо наявності одного необмеженого кількісного показника для захоплення наборів ce?

Проблема полягає в тому, що ви, мабуть, хочете, щоб мова не мала зайвих символів, таких як рівність, додавання, множення (так?), Якби ми мали їх тоді за теоремою MRDP, формулами Діофантіна (екзистенційні кількісні показники першого порядку перед рівністю двох поліномів) буде захоплювати набори ce. Якщо ми не допускаємо цих символів мовою, проблема є складнішою, для їх визначення можна використовувати квантори вищого порядку, але це збільшить складність квантора. Тож якщо я хочу дати коротку відповідь на ваше запитання щодо одного кількісного показника, я не знаю.

$AC^0$$AC^0$$c$$e$$x$

Деякі додаткові коментарі:

$AC^0$

Для інформації, ВО насправді справді потужніший за те, що ви заявляєте; вона містить всю аналітичну ієрархію (отже, і всю арифметичну ієрархію). Результат не публікується, не надсилається в будь-яке місце, але ви можете знайти його на моїй сторінці, www.milchior.fr/ho.pdf, розділ 7, сторінка 47.

$\forall i \forall X^i\forall j\exists Y^j (X^i=Y^j)$$\forall i \forall X^i\forall i\exists Y^i (X^i=Y^i)$$i$$X$$^i$$X$

$\phi(i)$$i$$k$$i>k$$\phi(i)$$k$$\phi(i)$$\forall i \phi(i)$$\forall i < k \phi(i)$

Інакше, ви можете, звичайно, стримувати VO, обмежуючи максимальний прийнятий порядок; але тоді ви отримуєте мову "вищого порядку" (HO), і це, мабуть, не те, що ви хочете.

Щоб відповісти на ваш коментар, я думаю, що я повинен би зробити ще одну відповідь, кажу лише про Кром і Рог (можливо, я повинен задати питання про це CSTheory)

Я пропоную вам прочитати розділ 5.3 сторінки 34 моєї роботи про проблему, з якою я стикався на Горн та Кром у логіці високого порядку. Ви зустрінетесь з тією ж проблемою у Перемінному порядку (який, очевидно, є сукупністю Високого Порядку).

Я не знаю, чи ви звернули на це увагу, але SO (кром) дорівнює P, коли перший порядок універсальний; дійсно ви можете висловити NP-повну проблему, якщо додати існуючу змінну першого порядку. (Я не пам'ятаю приклад, який я мав раніше, я можу спробувати пошукати його, якщо ви хочете)

Я не знаю, що ця синтаксична рестрикція стала б для логіки високого або змінного порядку ... я можу сказати лише про те, що ви також повинні придумати хороший спосіб обмежити квантори, тому що обмежувати лише частину, що не належить до кількісних показників, не є корисним ( принаймні для формул Кром)