Які цікаві теореми в TCS покладаються на вибір аксіоми? (Або, як аксіома рішучості?)

Математики іноді хвилюються з приводу вибору аксіоми (AC) та дефіцитності аксіоми (AD).

Аксіома вибору : При будь-якому наборі непустих множин існує функція F , що, з огляду на безліч S в C , повертає елемент з S .${\cal C}$$f$$S$${\cal C}$$S$

Аксіома рішучості : Нехай - це набір нескінченно довгих розрядних струн. Аліса і Боб грають у гру, де Аліса вибирає перший біт b 1 , Боб вибирає другий біт b 2 і так далі, поки не буде побудовано нескінченний рядок x = b 1 b 2 ⋯ . Аліса виграє , якщо х ∈ S , Боб виграє , якщо х ∉ S . Припущення полягає в тому, що для кожного S існує стратегія виграшу для одного з гравців. (Наприклад, якщо S складається лише з рядка all-one, Боб може виграти в безлічі багатьох ходах.)$S$$b_1$$b_2$$x = b_1 b_2 \cdots$$x \in S$$x \not \in S$ $S$$S$

Відомо, що ці дві аксіоми несумісні між собою. (Подумайте про це, або йдіть сюди .)

Інші математики не приділяють мало уваги використанню цих аксіом у доказуванні. Здавалося б, вони майже не мають значення для теоретичної інформатики, оскільки ми вважаємо, що ми працюємо здебільшого з кінцевими об'єктами. Однак, оскільки TCS визначає задачі обчислювального рішення як нескінченні бітові рядки, і ми вимірюємо (наприклад) часову складність алгоритму як асимптотичної функції над натуралами, завжди існує можливість, що використання однієї з цих аксіом може повзати в деякі докази.

Який найяскравіший приклад у TCS, який ви знаєте, де потрібна одна з цих аксіом ? (Чи знаєте ви приклади?)

Для того, щоб трохи передбачити, зауважте, що аргумент діагоналізації (скажімо, набір усіх машин Тьюрінга) не є застосуванням Axiom of Choice. Хоча мова, яку визначає машина Тьюрінга, - це нескінченна бітова струна, кожна машина Тьюрінга має кінцевий опис, тому нам дійсно не потрібна функція вибору для нескінченного безлічі нескінченних множин.

(Я ставлю багато тегів, тому що не маю уявлення, звідки беруться приклади.)

Будь-яке арифметичне твердження, що може бути доказовим у ZFC, є доказовим у ZF, а отже, не потребує аксіоми вибору. Під "арифметичним" твердженням я маю на увазі висловлювання арифметичної мови першого порядку, що означає, що його можна заявити, використовуючи лише кількісні показники над натуральними числами ("для всіх натуральних чисел x" або "існує натуральне число x"), без кількісного визначення наборів натуральних чисел. На перший погляд може здатися дуже обмежувальним забороняти кількісне визначення для множин цілих чисел; однак, кінцеві набори цілих чисел можна "закодувати" за допомогою одного цілого числа, тому цілком можна визначити кількість кінцевих наборів цілих чисел.

$P\ne NP$

Але зачекайте, ви можете сказати, що з арифметичними твердженнями, доказ яких вимагає чогось, як лема Кеніга чи теорема про Крускала про дерево? Чи не потрібна слабка форма вибору аксіоми? Відповідь полягає в тому, що саме від того, як ви констатуєте відповідний результат, залежить. Наприклад, якщо ви викладете другорядну теорему графа у формі, "враховуючи будь-який нескінченний набір неозначених графів, то повинні існувати два з них, щоб один був другорядним другому", тоді потрібна певна кількість вибору для проходження ваш нескінченний набір даних, підбір вершин, підграфів тощо [EDIT: Я тут помилився. Як пояснює Еміль Єржабек, теорема другорядних графів - або, принаймні, найбільш природне твердження про неї за відсутності змінного струму - є доказовою у ZF. Але по модулю ця помилка, те, що я кажу нижче, все ще є по суті правильною. ] Однак, якщо замість цього ви записуєте певне кодування за натуральними числами другорядного відношення на мічених кінцевих графах і формулюєте теорему другорядних графів як твердження про цей конкретний частковий порядок, то вислів стає арифметичним і не потребує змінного струму в доказ.

Більшість людей вважає, що "комбінаторна суть" малозначної теореми графа вже захоплена версією, яка фіксує певне кодування, і що потрібно викликати AC, щоб позначити все, у випадку, якщо вам представлений загальний набір- Теоретична версія проблеми є свого роду ірелевантним артефактом рішення використовувати теорію множин, а не арифметику як логічну основу. Якщо ви почуваєтесь так само, то для теорії другорядних графів не потрібно змінного струму. (Дивіться також цю публікацію Алі Енаят до списку розсилки «Основи математики», написану у відповідь на аналогічне запитання, яке я колись мав.)

Приклад хроматичного числа площини аналогічно є предметом інтерпретації. Ви можете задати різні запитання, які виявляються еквівалентними, якщо ви вважаєте, що це AC, але це окремі питання, якщо ви не приймаєте AC. З точки зору TCS, комбінаторне серце питання полягає в кольоровості кінцевих підграфів площини, і той факт, що ви можете (якщо хочете) використати аргумент компактності (саме тут входить AC), щоб щось зробити. про хроматичне число всієї площини забавно, але дещо дотично. Тому я не думаю, що це справді хороший приклад.

Я думаю, що в кінцевому підсумку у вас може бути більше шансів запитати, чи є якісь питання TCS, які потребують великих кардинальних аксіом для їх вирішення (а не змінного струму). Робота Харві Фрідмана показала, що певні фінальні твердження в теорії графа можуть вимагати великих кардинальних аксіом (або принаймні 1-консистенції таких аксіом). Приклади Фрідмана поки що трохи штучні, але я би не здивувався, побачивши подібні приклади, що з'являються "природно" в ТКС протягом нашого життя.

Я розумію, що відомий доказ теореми Робертсона-Сеймура використовує Аксіому вибору (через теорему дерева Крускала). Це суттєво цікаво з точки зору TCS, оскільки теорема Робертсона-Сеймура передбачає, що тестування членства в будь-якому даному сімействі графів мінорних замків може бути проведено в поліноміальний час. Іншими словами, Аксіома вибору може бути використана опосередковано, щоб довести, що алгоритми поліноміального часу існують для певних проблем, не будуючи фактично цих алгоритмів.

Це, однак, може бути не саме тим, що ви шукаєте, оскільки не ясно, чи потрібен тут AC.

Це стосується відповіді, яку дала Жанна Корхонен.

У 80–90-х роках з'явився потік результатів, який намагався охарактеризувати системи аксіом (іншими словами, теорію арифметики), необхідну для доведення розширень теореми про дерева Крускала (КТТ; оригінальний КТТ - з 1960 р.). Зокрема, Гарві Фрідман довів декілька результатів за цією лінією (див. С. Г. Сімпсон. Недостовірність деяких комбінаторних властивостей кінцевих дерев . У редакції Л. А. Харрінгтон та ін., Редактор Harvey Friedman Research of Foundation of Mathematics. Elsevier, North-Holland, 1985) . Ці результати показали, що (певні розширення) KTT повинні використовувати "сильні" Аксіоми розуміння (тобто аксіоми, які говорять про існування певних наборів високої логічної складності). Я не знаю точно про доцільність розширень KTT у ZF (без аксіоми вибору).

Паралельно з цим потоком результатів була спроба підключити його до ("Теорії B") TCS за допомогою систем перезапису . Ідея полягає в тому, щоб побудувати системи перезапису (розглядати це як якесь функціональне програмування, або лямбда-числення програм), для якого їх припинення залежить від певних (розширень) KTT (оригінальний зв'язок між KTT та перезаписуванням систем припинення був доведений N . Дершовіц (1982)). Це означає, що щоб показати, що певні програми припиняються, потрібні сильні аксіоми (оскільки розширення КТТ потребують таких аксіом). Для цього типу результатів див., Наприклад, А. Вайерман, Межі складності для деяких кінцевих форм теореми Крускала , Journal of Symbolic Computation 18 (1994), 463-488.

${\mathbb R}^2$

У Шелах і Сойфера "Аксіома вибору та хроматичне число площини" показано, що якщо всі кінцеві підграфів площини чотирихроматичні, то

• Якщо припустити вибір аксіоми, то площина чотирихроматична.
• Якщо припустити принцип залежного вибору і що всі множини вимірюються Лебесгом, то площина є п'яти-, шести- або семи хроматичною.

Частина творів Олів'є Фінкеля, схоже, пов'язана з питанням, хоча не обов'язково прямо про саму вибір аксіоми --- і відповідно до відповіді Тимофі Чоу. Наприклад, цитуючи конспект теорем про неповноту, великих кардиналів та автоматів над кінцевими словами , TAMC 2017 ,

$T_n := ZFC + \text{``There exist (at least) $n$ inaccessible cardinals''}$$n \geq 0$

[Це не пряма відповідь на ваше запитання, але для деяких людей це може бути сугестивним та / або інформативним.]

Опитування Вільяма Газарха P проти NP описує деякі статистичні дані щодо того, як "Р проти НП буде вирішено":

1. 61 подумав P ≠ NP.
2. 9 думка Р = NP.
3. 4 подумав, що це незалежно . Хоча жодна конкретна система аксіом не згадувалася, я припускаю, що вони думають, що вона не залежить від ZFC .
4. 3 щойно сказано, що НЕ незалежно від примітивної рекурсивної арифметики.
5. 1 сказав, що це буде залежати від моделі.
6. 22 не запропонували думки.

У Вікіпедії цікавий досвід незалежності:

... Ці бар'єри також змусили деяких вчених-комп'ютерів припустити, що проблема P проти NP може бути незалежною від стандартних аксіомних систем, таких як ZFC (не можна довести або спростувати їх всередині). Інтерпретація результату незалежності могла б полягати в тому, що або не існує алгоритму поліноміального часу для будь-якої проблеми, повної NP, і такий доказ не може бути побудований у (наприклад) ZFC, або що можуть існувати алгоритми поліноміального часу для задач, повних NP, але неможливо довести в ZFC, що такі алгоритми є правильними [ 1]. Однак, якщо це може бути показано, використовуючи такі методи, які, як відомо, застосовні, що проблему неможливо вирішити навіть із значно слабшими припущеннями, що розширюють аксіоми Пеано (ПА) на цілу арифметику, тоді обов'язково існуватиме майже- поліноміально-часові алгоритми для кожної задачі в NP [ 2 ]. Отже, якщо хтось вважає (як це робить більшість теоретиків складності), що не всі проблеми в НП мають ефективні алгоритми, то слід випливати, що докази незалежності за допомогою цих методів неможливо. Крім того, цей результат означає, що довести незалежність від ПА або ЗФК за допомогою відомих на даний момент методів не простіше, ніж довести існування ефективних алгоритмів для всіх проблем в НП.

$ZF$

$G$$\chi(H)$$H$$G$$G$

$ZF$