Генерування графіків за допомогою тривіальних автоматифізмів

Я переглядаю деяку криптографічну модель. Щоб показати його неадекватність, я розробив надуманий протокол, заснований на ізоморфізмі графіка.

"Банальним" (але суперечливим!) Є припущення про існування алгоритмів BPP, здатних генерувати "важкі екземпляри проблеми Ізоморфізму Графа". (Разом із свідком ізоморфізму.)

У своєму надуманому протоколі я припускаю існування таких алгоритмів BPP, які задовольняють одній додатковій вимозі:

• Нехай згенеровані графіки будуть і G 2 . Є лише один свідк (перестановка), який відображає G 1 - G 2 .$G_1$$G_2$$G_1$$G_2$

Це означає, що має лише тривіальні автоморфізми . Іншими словами, я припускаю існування деякого алгоритму BPP, який працює так:$G_1$

1. На вхід , генерувати п -vertex граф G 1 , таким чином, що вона має тільки тривіальні автоморфізм.$1^n$$n$$G_1$
2. Виберіть випадкову перестановку над [ n ] = { 1 , 2 , … , n } і застосуйте її на G 1, щоб отримати G 2 .$\pi$$[n]=\{1,2,\ldots,n\}$$G_1$$G_2$
3. Вихід .$\langle G_1,G_2,\pi \rangle$

Я буду вважати , що на кроці 1, може бути отриманий в разі необхідності, і ⟨ G 1 , G 2 ⟩ є жорстким екземпляром завдання ізоморфізму графів. (Будь ласка, інтерпретуйте слово "важко" природним шляхом; формальне визначення дано Абаді та ін. Див. Також статтю Impaliazzo & Levin .)$G_1$$\langle G_1,G_2 \rangle$

Чи моє припущення розумне? Може хто-небудь, будь ласка, вказав мені на деякі посилання?

$G_1$$n$$n \to \infty$$G_1$

Але другий наївний підхід має шанс працювати: генерувати випадковий регулярний графік (непостійного ступеня, оскільки ізоморфізм графіка постійної ступеня знаходиться в Р). Це також не має нетривіальних автоморфізмів з високою ймовірністю [KSV], але результат Бабая-Кучери не застосовується (як вони вказують у статті). Доведення, що це невразливий генератор, очевидно, вимагає певних припущень, але можна уявити, що довести безумовно, що ізоморфізм звичайного графіка середнього випадку такий же важкий, як і найгірший ізоморфізм графа, хоча я не знаю, наскільки це можливо. (Зауважимо, що ізоморфізм звичайного графа в гіршому випадку еквівалентний ізоморфізму графа в гіршому випадку).)

[БК]. Ласло Бабай, Людик Кучера, Канонічне маркування графіків у лінійному середньому часі . FOCS 1979, с.39-46.

[KSV] Чжен Хан Кім, Бенні Судаков та Ван Х. Ву. Про асиметрію випадкових регулярних графіків та випадкових графіків . Випадкові структури та алгоритми, 21 (3-4): 216–224, 2002. Також доступні тут .