Розмежування класів складності без теорем ієрархії

Теореми ієрархії є основними інструментами. Чимала їх кількість була зібрана в попередньому запитанні (див. Які ієрархії та / або теореми ієрархії ви знаєте? ). Деякі розділення класів складності безпосередньо випливають із теорем ієрархії. Приклади таких відомих розділень: , , , . $L\neq PSPACE$ $P\neq EXP$ $NP\neq NEXP$ $PSPACE\neq EXPSPACE$

Однак не кожне відокремлення випливає з теореми ієрархії. Дуже простий приклад . Незважаючи на те, що ми не знаємо, чи містить якийсь із них інший, вони все ще відрізняються, оскільки закритий щодо поліноміальних перетворень, тоді як - ні. $NP\neq E$ $NP$ $E$

Які є більш глибокі, безумовні, нерелятивізовані розділення класів складності для рівномірних класів, які безпосередньо не випливають із деякої теореми ієрархії?

cc.complexity-theory complexity-classes hierarchy-theorems

— Андрас Фараго
джерело

Я думаю, що називати відокремленням трохи незвично . Крім того, їх нерівність пов'язана з тривіальних причин і не говорить нам нічого цікавого. AFAIK усі цікаві розділення класів складності для класів великої складності в певний момент покладаються на теореми ієрархії (і в свою чергу діагоналізацію).

N P \neq E

$NP\neq E$

— Каве

Правда, насправді незвично називати відокремленням, як це справедливо з тривіальних причин. Я лише підняв це, щоб показати простий приклад, коли теорема про ієрархію не потрібна.

N P \neq E

$NP\neq E$

— Андрас Фараго

Err, доказ NP! = E це залежить від теореми ієрархії! Як це працює, ви спочатку припускаєте NP = E, а потім використовуєте властивості закриття NP, щоб вивести, що E = EXP, порушуючи тим самим теорему часової ієрархії.

— Скотт Ааронсон,

Дякую, Скотт, ти абсолютно маєш рацію. не був правильним прикладом. Серед відповідей я розмістив кращу.

N P \neq E

$NP\neq E$

— Андрас Фараго

Тож навіть такі нерівності покладаються на діагоналізацію: але . Приємно і не так банально.

E \subseteq N P \subseteq A C^{0} \circ N P \subseteq A C^{0} \circ E \subseteq E X P

$E \subseteq NP \subseteq AC^0\circ NP \subseteq AC^0 \circ E \subseteq EXP$

E ⊊ E X P

$E \subsetneq EXP$

— Каве

Відповіді:

Мені б хотілося, щоб мене показали неправильно, але я не думаю, що наразі існують однакові нижчі межі, які в кінцевому рахунку не базуються на одній із теорем ієрархії. Наше теперішнє розуміння того, як скористатися рівномірністю, насправді досить обмежене в цьому сенсі.

З іншого боку, існує безліч рівномірних нижніх меж, які не випливають безпосередньо з теорем ієрархії, але використовують теорему ієрархії в поєднанні з іншими розумними хитрощами, методами та результатами, наприклад:

$\mathsf{CSL} \not\subseteq \mathsf{DTIME}(n)$ [ Hopcroft-Paul-Valiant ]. Вони доводять, що (частина недіагоналізації їх доказування), а потім використовують факт, що у поєднанні з ієрархією простору. Їх результат + ієрархія простору також передбачає . $\mathsf{DTIME}(n) \subseteq \mathsf{DSPACE}(n/\log n)$ $\mathsf{CSL} = \mathsf{NSPACE}(n)$ $\mathsf{DSPACE}(n) \nsubseteq \mathsf{DTIME}(n)$
Компенсації часового простору для задоволення (див., Наприклад, введення Бус-Вільямса та посилання на них)
$\mathsf{DTIME}(n) \neq \mathsf{NTIME}(n)$ [ Paul-Pippinger-Szemeredi-Trotter ]. Використовує нетривіальне моделювання будь-якої детермінованої машини надлінійного часу швидшою машиною чотири чергування в поєднанні з детермінованою ієрархією часу.
Уніфіковані нижні межі permanant [ Аллендер , Аллендер-Гор , Koiran-Perifel ]
[Williams] (хоча технічно це неоднакова нижня межа, він використовує купу розумних ідей у поєднанні з недетермінованою ієрархією часу) $\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{ACC}^0$

— Джошуа Грохов
джерело

Є чи поділ по Смоленському то , що ви шукали? $\mathsf{AC}^0\subsetneq\mathsf{TC}^0$

— Арне
джерело

Дякую, це приємний результат, але я шукаю розділення класів

, а не класи класів.

u n i f o r m

$uniform$

— Андрас Фараго

@AndresFarago: Уніфікований AC ^ 0 також належним чином включений в єдиний TC ^ 0.

— Еміль Йерабек підтримує Моніку

@ EmilJeřábek: Чи є докази того, що рівномірний

правильно міститься в єдиному

що також не підтверджує неоднорідне твердження? (Якщо ні, то, здається, ваш приклад підпадає під загальний принцип, що неоднорідні нижні межі сильніші за рівномірні нижчі межі, і я думаю, що ОК намагався уникнути таких відповідей ...)

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

— Джошуа Грохов

Я думаю, що неоднорідність доказів є другорядним у тому, що це досить малі класи, де ми маємо певне комбінаторне / алгебраїчне розуміння їх. Тобто ми їх досить добре розуміємо, щоб безпосередньо побудувати об'єкт, якого немає в них. Де для великих класів, немає такого розуміння, і тому єдиний відомий нам метод - це зробити діагоналізацію проти всього класу для побудови таких об'єктів.

— Каве

Інший нетривіальний приклад походить із області середньої складності випадку. Райнер Шулер доводить цікаві властивості класу, який він називає , див. [1]. $P_{P-comp}$

- клас мов, прийнятих у поліноміальний час на длякожногополіноміального часу, що обчислюється (P-обчислюється) розподіл . Природно, що дотримується, оскільки існування детермінованого багаточастового алгоритму означає, що він залишається ефективним в середньому, незалежно від того, яким є розподіл вхідних даних. Однак умова запуску в середній час полінома длякожногоP-обчислюваного розподілу входу виявляється досить сильним, щоб підозрювати $P_{P-comp}$ $\mu$ $\mu$ $P\subseteq P_{P-comp}$ . $P_{P-comp}=P$

Дивно, але Шулер доводить, що існує мова , яка є Turing-повною для , тобто $L\in P_{P-comp}$ $E$ Це має на увазі безумовне поділ . У той час як останній також використовує факт , що випливає з теореми часової ієрархії, нова частина (*) будується на різних інструментах: поза діагоналізацією, вона використовує обмежену ресурсом міру та складність Колмогорова.

E \subseteq P^{P_{P - c o m p}} (*)

$E\subseteq P^{P_{P-comp}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (*)$

P_{P - c o m p} \neq P

$P_{P-comp}\neq P$

E \neq P

$E\neq P$

Довідка:

[1] Р. Шулер, "Закриття таблиці істини та закриття Тюрінга середнього часу полінома мають різні заходи в EXP", CCC 1996, pdf

— Андрас Фараго
джерело