Складність схеми функції більшості

13

Нехай є функцією більшості, тобто якщо і лише тоді, коли . Мені було цікаво, чи є простий доказ наступного факту (маючи на увазі "простий", я маю на увазі не покладатися на ймовірнісний метод, як це робив Valian 84, або на сортування мереж; бажано, щоб забезпечити чітку прямолінійну побудову схеми): $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $f(x) = 1$ $\sum_{i = 1}^n x_i > n/2$

може бути обчислена сімейством схемглибини , розміром poly (n), де ворота складаються з НЕ воріт, 2-вхідних АБО воріт та 2-х вхідних І ворота. $f$ $O(\log(n))$

— матонь
джерело

6

Це може зацікавити: Ігор Сергєєв, Верхні межі формули розміру функції більшості ; також тут він оголошує трохи кращі верхні межі. Однак якщо ви запитаєте про просто схеми (а не формули ), то, як нагадав Ігор, кожна симетрична булева функція (не просто більшість) має схему глибини

та розміру

: просто обчисліть суму

с і реалізувати булеву функцію змінних

. Для більшості ця остання функція є порівнянням з

O (\log n)

$O(\log n)$

O (n)

$O(n)$

1

$1$

\log_{2} n

$\log_2n$

.

n / 2

$n/2$

— Стасіс

@Stasys, а обчислення кількості одиниць, по суті, сортує біти.

— Каве

9

$\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{NC}^1$

Оскільки більшість є монотонною, ми знаємо, що її можна обчислити монотонною формулою. Існують дві відомі монотонні формули поліноміальних розмірів конструкцій, а саме дві, про які ви згадуєте, імовірнісна побудова Валіанса та побудова за допомогою сортувальних мереж. Наскільки я знаю, у нас немає більш простої детермінованої конструкції, ніж та, що надається сортуванням мереж.

$\mathsf{MAJ}_3$ $O(\log(n))$ $\mathsf{MAJ}_3$ Ефективні багатопартійні протоколи за допомогою формул порогу поглиблення журналу Cohen et al. Тут такі формули є побудовою на основі стандартних теоретично складних теоретичних чи криптографічних припущень.

— Крістофер Арнсфельт Хансен
джерело

9

$\sum_i x_i \geq k$

$k$

З іншого боку, припустимо, що у нас є схеми для обчислення обмеженого порогу. Ми можемо зробити паралельний пошук, щоб знайти кількість вхідних та вихідних сортованих списків.

$\mathsf{NC^1}$ $O(\lg n)$ $\mathsf{NC^1}$ $O(\lg n)$

Зауважте, що реалізувати обмежений поріг за допомогою більшості легко, додавши до входу більшості 1 та 0 входи.

$\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^1}$ $\mathsf{NC^2}$

$O(\lg n)$

$a,b,c$ $x,y$ $a+b+c = x+y$

$O(1)$

Дивіться розділ 4 і вправу 4 в

Девід Мікс Баррінгтон та Алексіс Масіель, " Курс підвищення кваліфікації з обчислювальної складності ", лекція 6, IAS / PCMI, 2000.

— Каве
джерело

O (\lg n)

$O(\lg n)$

O (\lg n)

$O(\lg n)$

7

$n$

Альтернативні докази дають Бродал і Хусфельт: Доказ складності зв'язку, що симетричні функції мають логарифмічну глибину . Знову ж таки, доказ є елементарним і забезпечує чітку конструкцію.

— Куліков Олександр Сергійович
джерело