Природні теореми довели лише "з високою ймовірністю"?

Існує безліч ситуацій, коли рандомізоване "доведення" набагато простіше, ніж детермінований доказ, канонічним прикладом є тестування поліноміальної ідентичності.

Питання : Чи існують природні математичні "теореми", де відомий рандомізований доказ, але детермінований доказ - ні?

Під "рандомізованим доказом" твердження $P$ я маю на увазі це

Існує рандомізований алгоритм, який приймає вхід $n > 0$ а якщо $P$ помилковий, виробляє детермінований доказ $\neg P$ з вірогідністю принаймні $1-2^{-n}$ .
Хтось запустив алгоритм для, скажімо, $n = 100$ , і не спростував теорему.

Генерувати неприродні твердження, які підходять, легко: просто виберіть великий екземпляр будь-якої проблеми, коли відомий лише ефективний рандомізований алгоритм. Однак, хоча існує багато математичних теорем з "безліччю числових доказів", таких як гіпотеза Рімана, я не знаю жодної із суворими рандомізованими доказами вищевказаної форми.

— Джеффрі Ірвінг
джерело

@Kaveh: Дякую за виправлення категорії. Я не був впевнений, під що його покласти.

— Джеффрі Ірвінг

інший напрям, вивчення літератури "дерандонізації" (шукаємо також хорошого опитування). Хіба відносно недавня (нагорода) теорема Рейнгольда також була випадком цього (знову ж таки до доведення)?

— vzn

Ну і будь-яка проблема з детермінованим доказом, що спирається на ERH (як і раніше), мала б це властивість

— Суреш Венкат

Вибачте, але не думаю, що ваше запитання має сенс, оскільки не може бути таких тверджень, природних чи ні. Ви пишете, що N - це прем'єр, який був хорошим прикладом, але, звичайно, завжди був детермінований доказ, а також для первинності, лише трохи довше. Я також не можу уявити, як ви б визначили ймовірність успіху алгоритму, який повинен спростувати одне твердження виправлення. Можливо, ви хочете попросити ефективний доказ для класу проблем (тобто вхідні дані будуть P і n та твердження P (n)), але тоді ми переходимо до теорії складності та визначення BPP.

— домоторп

domotorp: Це правда, що (якщо припустити, що алгоритм використовує обмежену кількість випадкових біт) будь-який такий рандомізований доказ може бути дерандомізований з деякою вартістю продуктивності. Однак я запитую про приклади, коли вартість продуктивності є достатньо високою, щоб детермінований доказ не був запущений на сьогоднішній день, тоді як рандомізований доказ має. Я вважаю, що визначення мають сенс у цьому контексті.

— Джеффрі Ірвінг

$\DeclareMathOperator{\inv}{inv} \DeclareMathOperator{\maj}{maj}$ Це не приклад того, про що ви просите, але це говорить про те, як може виникнути такий приклад. Деякі комбінаторні тотожності можуть бути кодовані як ідентичності щодо поліномів обмеженого ступеня . Якщо многочлени є одновимірними, для доказу тотожності достатньо перевірити його на балах. Однак, якщо поліноми є багатоваріантними, а ступінь принаймні помірно великою, лемма Шварца-Зіппеля може бути єдиним практичним способом перевірити тотожність. $d$ $d+1$

Для прикладу універсальної справи перегляньте цю статтю Зейльбергера, вирішуючи питання про Кнут. Він доводить твердження про статистику перестановок. Для перестановки , нехай - число інверсій , і нехай основний індекс з $\pi \in S_n$ $\inv(\pi)$ $|\{(i, j): i < j, \pi(i) > \pi(j)\}|$ $\pi$ $\maj(\pi)$ - сума всіх цілих чисел у множині . Цайльбергер доводить, що для всіх є коваріація двох статистичних даних $\pi$ $\{i: \pi(i+1) < \pi(i)\}$ $n$

де всі очікування над рівномірно випадковимив. Доказом Зейльбергера є лише комп’ютерна перевіркаі спостереження, що твердження еквівалентне тотожності між поліномами зступеня не більше.

Е [(інв (π) - Е [інв (π)]) \cdot (май (π) - Е [май (π)])] = \frac{1}{4} (\binom{н}{2}),

$\mathbb{E}[(\inv(\pi) - \mathbb{E}[\inv(\pi)])\cdot(\maj(\pi) - \mathbb{E}[\maj(\pi)])] = \frac{1}{4}{n \choose 2},$

π

$\pi$

S_{n}

$S_n$

n \in {1, 2, 3, 4, 5}

$n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$

n

$n$

4

$4$

— Сашо Ніколов
джерело

Дякую, це прекрасна стаття. Мені дуже подобається мораль.

— Джеффрі Ірвінг