Детермінована складність зв'язку проти номера розділу

Фон:

Розглянемо звичайну двопартійну модель складності зв’язку, де Алісі та Боб задаються $n$ -бітні рядки і і повинні обчислити деяку булеву функцію , де .$x$$y$$f(x,y)$$f:\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n \to \{0,1\}$

Визначаємо такі кількості:

$D(f)$ (детермінована складність зв'язку ): мінімальна кількість бітів, які Алісі та Боб потрібно передавати для обчислення детерміновано.$f$$f(x,y)$

$Pn(f)$ (номер розділу ): логарифм (основа 2) найменшої кількості монохроматичних прямокутників у перегородці (або роз'єднаній кришці) .$f$$\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$

Монохроматичний прямокутник у - це підмножина така що приймає однакове значення (тобто є монохроматичним) для всіх елементів .$\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$$R \times C$$f$$R \times C$

Також зауважте, що номер розділу відрізняється від "номера розділу протоколу", який був предметом цього питання .

Дивіться текст Кушилевіца та Нісана для отримання додаткової інформації. У їх позначенні те, що я визначив як це .$Pn(f)$$\log_2 C^D(f)$

Примітка . Ці визначення легко узагальнюються до не булевих функцій , де вихід - деякий більший набір.$f$$f$

Відомі результати:

Відомо, що - нижня межа на , тобто для всіх (булева чи не булева) , . Дійсно, більшість методів нижньої межі (або, можливо, всі?) Для насправді нижньої межі . (Чи може хтось підтвердити, що це стосується всіх методів нижньої межі?)$Pn(f)$$D(f)$$f$$Pn(f) \leq D(f)$$D(f)$$Pn(f)$

Відомо також, що ця межа є в максимум квадратично вільною (для булевих чи не булевих функцій), тобто $D(f) \leq (Pn(f))^2$ . Підводячи підсумок, ми знаємо наступне:

$Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2$

Можна припустити, що . (Це відкрита проблема 2.10 в тексті за текстом Кушилевіца і Нісана.) Однак, наскільки мені відомо, найвідоміше розділення цих двох для булевих функцій є лише мультиплікативним фактором 2, як показано у " Лінійно-масивна конфігурація у складності спілкування помилкова »Ейал Кушилевіц, Натан Лініял та Рафаїл Островський.$Pn(f) = \Theta(D(f))$

Точніше, вони демонструють нескінченне сімейство булевих функцій , таке, що D ( f ) ≥ ( 2 - o ( 1 ) ) P n ( f ) .$f$$D(f) \geq (2 - o(1)) Pn(f)$

Питання:

Яке найвідоміше розділення між та D ( f ) для не булевих функцій? Чи все ще йдеться про розділення фактора-2, про яке було сказано вище?$Pn(f)$$D(f)$

Додано в v2 : Оскільки я не отримав відповіді протягом тижня, я також радий почути часткові відповіді, догадки, чутки, анекдотичні докази тощо.

Це питання щойно вирішено! Як я вже згадував, це було відомо

,$Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2$

але була велика відкрита проблема показати, що або або що існує функція, для якої P n ( f ) = o ( D ( f ) ) .$Pn(f) = \Theta(D(f))$$Pn(f) = o(D(f))$

Кілька днів тому це вирішили Міка Геос, Тоніан Пітассі, Томас Уотсон ( http://eccc.hpi-web.de/report/2015/050/ ). Вони показують, що існує функція яка задовольняє$f$

.$Pn(f) = \tilde{O}((D(f))^{2/3})$

Вони також показують оптимальний результат для однобічної версії , яку я позначу через P n 1 ( f ) , де вам потрібно лише покрити 1-входи прямокутниками. P n 1 ( f ) також задовольняє $Pn(f)$$Pn_1(f)$$Pn_1(f)$

,$Pn_1(f) \leq D(f) \leq (Pn_1(f))^2$

і вони показують, що це найкраще можливе співвідношення між двома заходами, оскільки вони виявляють функцію яка задовольняє$f$

.$Pn_1(f) = \tilde{O}((D(f))^{1/2})$

Ви зазначаєте, що нижні межі на тісно пов'язані з усіма існуючими методами нижньої межі. Для булевих функцій це здається істинним, доки вірна гіпотеза. Однак P n ( f ) може бути експоненціально більшим, ніж обмежена множина дурня.$Pn(f)$$Pn(f)$

Мені не зрозуміло, наскільки і D ( f ) можуть відрізнятися в не булевому випадку.$Pn(f)$$D(f)$

У решті я роблю ці коментарі більш точними.

К.Н. (Кушилевіц та Нісан у своєму підручнику 1997 р.) Окреслюють три основні методи булевих функцій: розмір набору дурнів, розмір монохроматичного прямокутника та ранг матриці зв'язку.

По-перше, дурні набори. Околпачивать безліч є монохроматичним: існує деяка г ∈ { 0 , 1 } така , що F ( х , у ) = г для кожного ( х , у ) ∈ S . Потім потрібно деяке остаточне виправлення, щоб врахувати інший колір. Цього додаткового кроку можна уникнути. Нехай f : X × Y → { 0 , 1 } - функція. Пара різних елементів ( x 1$S$$z \in \{0,1\}$$f(x,y) = z$$(x,y)\in S$$f \colon X \times Y \to \{0,1\}$ єслабким дурнемдля f, якщо f ( x 1 , y 1 ) = f ( x 2 , y 2 ) означає, що або f ( x 1 , y 2 ) ≠ f ( x 1 , y 1 ) або f $(x_1,y_1),(x_2,y_2) \in X \times Y$$f$$f(x_1,y_1) = f(x_2,y_2)$$f(x_1,y_2) \ne f(x_1,y_1)$ . Множина S ⊆ X × Y єслабкою дурною множиноюдля f, якщо кожна окрема пара елементів S слабко обманює. KN імпліцитно заявляє після доказу 1,20, що розмір журналу слабкого дурманного набору є нижньою межею складності зв'язку.$f(x_2,y_1) \ne f(x_1,y_1)$$S \subseteq X \times Y$$f$$S$

Найбільший слабкий набір дурників вибирає репрезентативний елемент з кожного монохроматичного прямокутника у найменшій розрізненій кришці набору. Отже, розмір найбільшого слабкого дурманного набору не більше, ніж (показник) номера розділу. На жаль, обмеження, що надається дурнями, часто слабке. Доказ KN 1.20 показує, що будь-яка функція, яка відображає кожен елемент слабкого дурманного набору S до монохроматичного прямокутника R s, що містить цей елемент, є ін'єктивною. Однак може бути безліч однотонних прямокутників R у найменшій розрізненій кришці, яка не відображається на зображенні S , при цьому кожен елемент R слабко обдурює деякі, але не всі елементи$s$$S$$R_s$$R$$S$$R$ , і тому не може просто додати до S . Насправді Dietzfelbinger, Hromkovič і Schnitger показали (DOI:10.1016 / S0304-3975 (96) 00062-X)що для всіх досить великих п ,крайней мере , 1 / 4 всіх булевих функцій на п змінних мають Р п ( ф ) = п ще мають (слабкі) набори дурманів розміру журналу O ( log n ) . Тож журнал розміру найбільшого (слабкого) дурного набору може бути експоненціально меншим, ніж складність зв'язку.$S$$S$$n$$1/4$$n$$Pn(f) = n$$O(\log n)$

For rank, establishing a close correspondence between the rank of the matrix of the function and its partition number would establish a form of the log-rank conjecture (depending on the tightness of the correspondence). For instance, if there is a constant $a> 0$ such that $Pn(f) \le a\log rk(f)$ for every Boolean function $f$, then $D(f) \le (2a\log rk(f))^2$, and a kind of log-rank conjecture then holds for families of functions for which $rk(f)$ ultimately increases with $|X|+|Y|$, with exponent $2+\epsilon$ for any $\epsilon > 0$ achievable for sufficiently large $|X|+|Y|$. (Recall that the Lovász-Saks log-rank conjecture says that there is a constant $c>0$ such that $D(f) \le (\log rk(f))^c$ for every Boolean function $f$; here $rk(f)$ is the rank of the communication matrix of $f$ over the reals.)

Similarly, if there is only one quite large monochromatic rectangle together with many small ones, then the partition number gives a stronger bound than the log-size of a largest monochromatic rectangle. However, the log-rank conjecture is also equivalent to a conjecture about the size of a largest monochromatic rectangle (Nisan and Wigderson 1995, doi:10.1007/BF01192527, Theorem 2). So using monochromatic rectangles is not currently known to be "the same as" using the partition number, but they are closely related if the log-rank conjecture holds.

In summary, the log-size of a largest weak fooling set may be exponentially smaller than the partition number. There may be gaps between the other lower bound techniques and the partition number, but if the log-rank conjecture holds then these gaps are small.

Використовуючи поняття розміру, що розширюють звичайний (про кардинальність), розмір будь-якого монохроматичного прямокутника може бути використаний для узагальнення дурних наборів та нижньої межі складності зв'язку (див. КН 1.24). Я не впевнений, наскільки узагальнений найбільший "розмір" будь-якого монохроматичного прямокутника повинен бути складним для зв'язку.

In contrast to the above discussion for Boolean functions, for non-Boolean functions the gap between $D(f)$ and $\log rk(f)$ may be exponential. KN 2.23 gives an example: let $f$ be the function that returns the size of the intersections of the sets represented by the two input characteristic vectors. For this function, the log-rank is $\log n$. Now the set of all pairs of non-intersecting sets has $3^n$ elements. As far as I can tell, there can be no monochromatic rectangles larger than this set. If this is correct, then $D(f) \ge Pn(f) \ge (2 - \log 3)n > 0.4n$, so for this function, $D(f)$, $Pn(f)$, and the log-size of a largest monochromatic rectangle are all within a factor of at most $2.5$ of each other, while being exponentially far from the log rank. Hence small separations between $Pn(f)$ and $D(f)$ may be possible in the non-Boolean case, but they are not related in an obvious way to the log-rank of the matrix of $f$. I am not aware of any published work discussing how these measures are related in the non-Boolean case.

Finally, Dietzfelbinger et al. also defined an extended fooling set bound, generalising the fooling condition from pairs ("order 1" subsets) to larger subsets of monochromatic elements; the extended fooling condition requires that the submatrix spanned by the monochromatic elements is not monochromatic. It is not clear how this behaves as the order of the monochromatic subsets increases, as one has to divide the size of the extended fooling set by the order, and consider the largest value over all orders. However, this notion ends up being a close lower bound to $Pn(f)$.