Які властивості плоских графіків узагальнюють на вищі розміри / гіперграфи?

Плоский граф являє собою графік , який може бути вбудований в площині, без перетину ребер.

Нехай є -уніформою-гіперграфом, тобто гіперграфом таким, що всі його гіперпередачі мають розмір k.$G=(X,E)$$k$

Була проведена деяка робота над вбудовою гіперграфом у площину (з контекстом кластеризації чи якоїсь іншої програми), але часто дані просто неможливо вставити в площину. Рішення може бути або змусити його з деякими втратами, або вбудувати його у більш високий вимір, як я пропоную тут:

Природне розширення планарності (принаймні IMO) - це " -просте вбудовування" (чи відома інша назва для нього?) : вбудовування , таким чином, що існують поверхні, які з'єднують усі вершини кожного гіперпереду, і вони не перетинаються, крім кінцевих точок.G M : X → R$k$$G$$\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k$

(Подумайте про аналог у 2D, де кожна поверхня є краєм, який ви можете намалювати, як би вам не хотілося).

Ось приклад дійсного 3-простого вбудовування 3-рівномірного гіперграфа. (Кожна вершина забарвлена ​​гіпереграми, в яких вона міститься, і кожне обличчя являє собою гіперспект).

Ще один приклад 3-простого графіка - це повний 3-рівномірний гіперграф на 5 вершинах . Щоб побачити це, просто візьміть 4 точки в які не лежать на двовимірній площині, створіть трикутну піраміду (їх опуклий корпус) та поставте п'яту точку в центрі піраміди, з'єднавши її з інші вершини.R$G=(V,V\times V\times V)$$\mathbb{R}^3$

Аналогічно, здається, що повний 3-рівномірний гіперграф на 6 вершинах не має 3-простого вбудовування.

Існує кілька дуже корисних властивостей плоских графіків, які дозволяють вдосконалити алгоритми складних проблем, коли графік планарний. На жаль, дані часто не планарні, хоча іноді мають низьку розмірність. Я думаю, що розуміння, які властивості плоских графіків узагальнюють, допоможе нам розібратися, які алгоритми можна пристосувати для вищого виміру за допомогою того ж інструменту.

Приклад властивості, яка може бути корисною, походить з теореми Фарі, яка передбачає, що кожен плоский графік може бути вбудований таким чином, що всі його ребра є прямими відрізками.

Чи є теорема Фарі у вищому вимірі? , тобто, якщо на графіку є -просте вбудовування, чи має він вбудовування, в якому всі гіперкрайки є гіперпланами?$k$

Чи є інші властивості, які можна узагальнити? наприклад, чи можна формулу Ейлера для плоских графіків якось узагальнити до вищого виміру? (хоча на даний момент я не впевнений, який би був сенс цього).

Перше зауваження, здається, ваша увага приділяється гіперграфам, але я думаю, що більша частина літератури про вбудовування гіперграфів вважає за краще працювати з спрощеними комплексами. Хорошим посиланням на ці питання є цей документ Матусека, Тансера та Вагнера.

Чи є теорема Фарі у вищому вимірі?

Відповідь - ні.

Насправді існує 3 різних поняття вбудовування: з прямими, кусочно-лінійними та безперервними (гіпер) -відмінами. У площині вони всі збігаються, але загалом - ні. Що стосується прямолінійних вкладок, то перший зустрічний приклад належить Брему

Брем, США (1983). Неполіедральна трикутна смуга Мебіуса. Зб. Амер. Математика. Соц., 89 (3), 519–522. doi: 10.2307 / 2045508

і кілька прикладів випливають з використанням результатів теорії матореїдів

Про різницю між PL і топологічними вкладеннями це випливає із загальних зустрічних прикладів, що виникають із Hauptvermutung : У розмірах 5 і більше існують топологічні сфери, які не допускають жодної кусочно-лінійної структури

Чи є інші властивості, які можна узагальнити? наприклад, чи можна формулу Ейлера для плоских графіків якось узагальнити до вищого виміру?

$k$

Аналогічно, здається, що повний 3-гіперграф на 6 вершинах не має 3-х простого вбудовування.

Дійсно, це є результатом перешкод ван Кампен-Флорес. Це пояснюється надзвичайно докладно і чітко в книзі Матусека "Використання теореми Борсука Улама".

О-о-о. Ви хочете бути дуже дуже обережними. Контактні графіки опуклих політопів у 3d можуть реалізувати будь-який графік. Дивно, але кліку можна реалізувати за допомогою n політопів, що мають n обертових та перекладених копій одного й того ж політопа (розумних боглів). Дивіться цей документ:

http://www.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/crum.html

Це вже означає, що ви можете кодувати досить неприємні графіки як графіки перетину трикутників у 3d. Дивіться розділ 4 цього документу:

http://sarielhp.org/p/09/set_cover_hard/

До речі, мене цікавить аналогічна версія вашої проблеми, намагаючись зрозуміти, як поводиться графік геометричного перетину ...

Теорема Шнідера стверджує, що графік є планарним, якщо його частота виникнення має розмір максимум 3. Це Мендес розширив до довільних симпліциальних комплексів (див. "Геометрична реалізація спрощених комплексів", Графічний малюнок 1999: 323-332). Як не дивно, є набагато старший документ з дуже схожою назвою "Геометрична реалізація напівпростого комплексу", але я підозрюю, що це на іншу тему.

Дуже важлива властивість: подвійність по ширині дерева.

наприклад, подивіться на: ширину дерев з гіперграфів та поверхневу подвійність Фредеріка Мазуа,

Реферат такий:

У графі неповнолітніх III Робертсон і Сеймур пишуть: "Здається, ширина дерева плоского графа і ширина дерева в його геометричному подвійному розмірі приблизно рівні. Дійсно, ми переконали себе в тому, що вони відрізняються щонайбільше одиницею". Вони ніколи не давали доказ цього. У цій роботі ми доводимо узагальнення цього твердження до вбудовування гіперграфів на загальних поверхнях, і ми доводимо, що наша межа щільна.

http://www.labri.fr/perso/mazoit/uploads/Surface_duality_journal.pdf