Теорія типу гомотопії та теореми про незавершеність Геделя

Курт Гедель «s незавершеність теореми встановити" внутрішні обмеження всіх , крім самих тривіальних систем хрестоматійні , здатні виконувати арифметичні ".

Теорія типу гомотопії дає альтернативну основу для математики, одновалентний фундамент, заснований на вищих індуктивних типах та аксіомі одновалентності . У книзі HoTT пояснюється, що типи - це вищі групоїди, функції - функтори, сімейства типів - це фракції тощо.

Недавня стаття "Формально перевірена математика" в CACM Джеремі Авігада та Джона Харрісона обговорює HoTT щодо формально підтвердженої математики та автоматичного підтвердження теорем.

Чи застосовуються теореми про незавершеність Геделя для HoTT?

А якщо вони,

чи порушена теорія типу гомотопії теоремою про незавершеність Геделя (в контексті формально перевіреної математики)?

lo.logic type-systems homotopy-type-theory

— хокі
джерело

Цікаве запитання. Чи щось ви читали, що підказувало вам, що HTT не страждає від недосконалості Годеля? (Зауважимо, що попередні спроби фундаментів - такі як теорія множин - також страждають від

— недосконалості Годеля

HoTT, безумовно, «страждає» від незавершеності Геделя, оскільки він має численну мову та правила умовиводу, і ми можемо формалізувати в ній арифметику. Автори книги HoTT чудово усвідомлювали її незавершеність. (Насправді це цілком очевидно, особливо коли половина авторів є певними логіками).

Але чи незавершеність "погіршує" HoTT? Не більше, ніж це робить будь-яка інша формальна система, і я вважаю, що це питання дещо помилкове. Дозвольте спробувати аналогію. Припустимо, у вас є машина, яка не зможе доставити вас всюди на планеті. Наприклад, він не може підніматися вертикально вгору по стіні. Автомобіль "пошкоджений"? Звичайно, це не може перенести вас на вершину Емпайр-Стейт-Білдінг. Автомобіль марний? Далеко це може зайняти у вас занадто багато інших цікавих місць. Не кажучи вже про те, що в Емпайр-Стейт-Білдінг є ліфти.

— Андрій Бауер
джерело

Я не думаю, що аналогія автомобіля цілком спрацьовує, оскільки питання не так вже й багато: "Чи машина марна?" але "Чи може машина служити основним транспортом?" Але, в будь-якому випадку, основоположним моментом є те, що будь-яка система, яка буде основою математики, обов'язково є неповною.

— Девід Річербі

Моя думка полягала в тому, що люди не очікують існування ідеальної транспортної машини, і вони також не переживають, що її немає, але якимось чином переживає той факт, що жодна (розумна) основа математики не є повною.

— Андрій Бауер