У якій мірі математика Reals може бути застосована до обчислюваних реалів?

Чи існує загальна теорема, яка б за умови належної санітарії стверджувала, що більшість відомих результатів щодо використання реальних чисел можна реально використовувати, якщо розглядати лише обчислювані цифри? Або є належна характеристика результатів, які залишаються дійсними, якщо враховувати лише обчислювані цифри? Побічне питання полягає в тому, чи можна довести результати, що стосуються обчислювальних дій, без необхідності враховувати все реальне, або все, що не піддається обчисленню. Я думаю саме про обчислення та математичний аналіз, але моє питання жодним чином не обмежується цим.

Власне, я вважаю, що існує ієрархія обчислюваних дійсних даних, що відповідають ієрархії Тьюрінга (Це правильно?). Тоді, більш абстрактно, чи існує абстрактна теорія реального (я не впевнений, якою має бути термінологія), для якої можна було б довести ряд результатів, які стосуватимуться як традиційних реальних чисел, так і обчислювальних цифр, і до будь-якого рівня ієрархії Тюрінга обчислюваних дійсних даних, якщо вона існує.

Тоді моє запитання, можливо, могло б бути висловлене так: чи є характеристика результатів, які застосовуватимуться в абстрактній теорії реальних результатів, коли вони будуть доведені для традиційних дій. І чи можна було б довести ці результати безпосередньо в абстрактній теорії, не враховуючи традиційних результатів.

Мені також цікаво зрозуміти, як і коли ці теорії реально розходяться.

PS Я не знаю, куди це вмістити в моєму питанні. Я зрозумів, що велика частина математики на реалах узагальнена топологією. Тож може бути, що відповідь на моє запитання чи його частину можна знайти там. Але може бути і більше.

Реальні числа можна охарактеризувати двома способами, давайте попрацюємо з упорядкованим полім Коші архімедовим полем . (Нам потрібно бути трохи обережним , як саме ми говоримо про це, див Визначення 11.2.7 і Defintion 11.2.10 з книги HOTT .)

У будь-якому топосі (модель інтуїтивістської логіки вищого порядку) справедлива наступна теорема :

Теорема: Існує повне упорядковане архімедівське поле Коші, і насправді будь-яке два таких поля є канонічно ізоморфними.

Більше того, в інтуїтивістській логіці (не плутати з інтуїціонізмом ) ми можемо зробити багато реального аналізу (послідовності та межі, похідні, інтеграли, безперервність, рівномірну безперервність тощо), який тоді діє в будь-якому топосі. Якщо взяти топос множин, то отримаємо звичайний реальний аналіз. Беручи різний топос, ми отримуємо різний вид реального аналізу - і є топос, який дає точно обчислювані результати і обчислювальний реальний аналіз.

Це, звичайно, ефективний топос , в якому реальні числа є обчислюваними реалами (якщо говорити невиразно, причина цього в тому, що ефективний топос побудований таким чином, що все в ньому автоматично обчислюється). Відповідь на ваше запитання:

Визначення, конструкції та теореми в інтуїтивістському реальному аналізі автоматично переводяться на визначення, конструкції та теореми про обчислювані реальності, коли ми інтерпретуємо їх в ефективних топосах.

Наприклад, теорема "кожне рівномірно неперервне відображення досягає свого надсунума" є інтуїціоністично справедливою. Коли ми інтерпретуємо це в ефективний топос, ми отримуємо відповідну версію для обчислювальних карт на обчислюваних реалах, які обчислюються рівномірно безперервно.$f : [0,1] \to \mathbb{R}$

Ви також запитуєте про "розбіжність" між реальним аналізом та його обчислюваною версією. Відповідь полягає в тому, що результати, які спираються на закон виключеної середини або аксіому вибору (хоча підрахунок вибору є нормальним), не є інтуїтивними, і тому їх не можна перевірити в ефективних топосах. Однак слід зазначити, що (всупереч поширеній думці) більшість аналізів можна зробити інтуїтивно.

Ефективний топос - лише один із багатьох топів реалізації . Коли ми інтерпретуємо інтуїціоністичний аналіз в інших цілях реалізації, ми отримуємо альтернативні моделі обчислення реальних чисел, включаючи обчислення з оракулами, на які ви натякаєте. "Топос реалізованості відносних функцій Клінова" (що б там не було) дає так звану обчислюваність типу II на реалах, в яких обчислювальні карти працюють на всіх реалах, а не тільки на обчислювальних.

Я спробував це пояснити один раз у примітках "Усвідомлення як зв'язок між обчислюваною та конструктивною математикою" , а до цього в докторантурі. теза .