Скільки різних кольорів потрібно для нижньої межі вибору графіка?

Графік є -можливим (також відомим як -list-кольоровий ), якщо для кожної функції яка відображає вершини на множини кольорів, існує кольорове призначення таким, що для всіх вершин , , і таке, що для всіх ребер , .k f k c v c ( v ) ∈ f ( v ) v w c ( v ) ≠ c ( w $k$$k$$f$$k$$c$$v$$c(v)\in f(v)$$vw$$c(v)\ne c(w)$

Тепер припустимо, що графік не є -можливим. Тобто існує функція від вершин до -парів кольорів, що не має дійсного призначення кольору . Що я хочу знати, - скільки всього кольорів потрібно? Наскільки маленьким може бути ? Чи існує число (незалежне від ) таке, що ми можемо гарантовано знайти небарвне яке використовує лише відмінні кольори?k f k c ∪ v ∈ G f ( v ) N ( k ) G f N ( k $G$$k$$f$$k$$c$$\cup_{v\in G}f(v)$$N(k)$$G$$f$$N(k)$

Актуальність для CS полягає в тому, що, якщо існує , ми можемо перевірити -хозабезпеченість для постійного за одно -експоненціальний час (просто спробуйте всі \ binom {N (k)} {k} ^ n вибору f , і для кожного перевірте, чи може він пофарбуватися в часі k ^ nn ^ {O (1)} ), тоді як в іншому випадку може знадобитися щось швидше зростаючий, як n ^ {kn} .k k ( N ( k $N(k)$$k$$k$$\binom{N(k)}{k}^n$k n n O ( 1 ) n k $f$$k^n n^{O(1)}$$n^{kn}$

Даніель Крал та Іржі Сгалл відповіли на ваше запитання негативно. З реферату їх статті:

Графік як кажуть, вибір, якщо його вершини можуть бути кольоровими з будь-яких списків з , для всіх , і з . Для кожного ми побудуємо графік який є -можливим, але не -можливим.$G$$(k,\ell)$$L(v)$$|L(v)| \ge k$$v\in V(G)$$|\bigcup_{v\in V(G)} L(v)| \le \ell$$3 \le k \le \ell$$G$$(k,\ell)$$(k,\ell+1)$

Отже, не існує, якщо . Карал і Шгалл також показують, що . Звичайно, .k ≥ 3 N ( 2 ) = 4 N ( 1 ) = $N(k)$$k\ge 3$$N(2)=4$$N(1)=1$

Даніель Крал, Іржі Сгалл: Розфарбування графіків зі списків з обмеженим розміром їх об'єднання . Журнал теорії графіків 49 (3): 177-186 (2005)

Як трохи безсоромне самореклама, ми з Марте Бонамі знайшли більше негативних відповідей. Зокрема, теорема 4 від http://arxiv.org/abs/1507.03495 покращує вищезазначений результат Карала та Шгала у певних випадках. Приклади, які ми використовуємо, - це повні двосторонні графіки, де ми використовували деякі екстремальні комбінаторики для їх аналізу.

Робота була частково мотивована цим запитанням про переповнення TCS.