Будь-який многочлен, який важко порахувати, але легко визначити?

Кожен монотонний арифметичний ланцюг , тобто ланцюг , обчислює деякий багатофакторний многочлен з невід'ємними цілими коефіцієнтами. Дано многочлен , схема $\{+,\times\}$ $F(x_1,\ldots,x_n)$ $f(x_1,\ldots,x_n)$

обчислює якщо виконується для всіх ; $f$ $F(a)=f(a)$ $a\in \mathbb{N}^n$
підраховує якщо справедливо для всіх ; $f$ $F(a)=f(a)$ $a\in\{0,1\}^n$
вирішує якщо точно, коли виконується для всіх . $f$ $F(a)>0$ $f(a)>0$ $a\in\{0,1\}^n$

Я знаю явні многочлени (навіть багатолінійні), що показують, що розрив за розмірами ланцюга "обчислити / рахує" може бути експоненціальним. Моє запитання стосується розриву "рахує / вирішує". $f$

Запитання 1: Чи хтось знає про якийсь многочлен який підрахувати експоненціально важче, ніж визначитися з -схемами? $f$ $\{+,\times\}$

В якості можливого кандидата можна взяти поліном PATH, змінні якого відповідають краям повного графа на , а кожному мономелю відповідає простий шлях від вузла до вузла у . Цей многочлен може бути вирішений ланцюгом розміром реалізує, скажімо, алгоритм динамічного програмування Беллмана-Форда, і порівняно легко показати, що кожен -схеми обчислювальної схеми PATH повинні мають розмір . $K_n$ $\{1,\ldots,n\}$ $1$ $n$ $K_n$ $O(n^3)$ $\{+,\times\}$ $2^{\Omega(n)}$

З іншого боку, кожен ланцюг, що рахує PATH, вирішує задачу PATH, тобто підраховує кількість до- шляхів у зазначеному відповідному підпункті введення - . Це так звана P -повна проблема . Отже, ми всі "віримо", що PATH не може мати підрахунку -мікросхем поліноміального розміру. «Єдина» проблема - це довести це ... $\#$ $1$ $n$ $0$ $1$ $K_n$ $\#$ $\{+,\times\}$

Я можу показати, що кожен -схеми підрахунку пов'язаного гамільтонівського полінома HP шляху вимагає експоненціального розміру. Мономах цього многочлена відповідають -До- шляхів в , що містять всі вузли. На жаль, скорочення від HP в PATH по Valiant вимагає , щоб обчислити обернену матрицю Вандермонда, і , отже , не можуть бути реалізовані з допомогою -circuit. $\{+,\times\}$ $1$ $n$ $K_n$ $\#$ $\#$ $\{+,\times\}$

Запитання 2: Чи хтось бачив монотонне зменшення HP до PATH? $\#$ $\#$

І, нарешті:

Питання 3: Чи взагалі розглядалася "монотонна версія" класу P ? $\#$

Примітка. Зауважте, що я говорю про дуже обмежений клас схем: монотонні арифметичні схеми! У класі -схеми, питання 1 було б несправедливим взагалі запитувати: жодних нижчих меж, більших за для таких схем, навіть коли потрібно обчислити. заданий многочлен на всіх входах у відомі. Також у класі таких мікросхем є "структурний аналог" питання 1 - чи є P -повні многочлени, які можна визначити за допомогою полі-розмірів -схеми? - має позитивну відповідь. Такий, наприклад, постійний многочлен PER . $\{+,-,\times\}$ $\Omega(n\log n)$ $\mathbb{R}^n$ $\#$ $\{+,-,\times\}$ $=\sum_{h\in S_n}\prod_{i=1}^n x_{i,h(i)}$

ДОДАТО: Цуйосі Іто відповів на питання 1 дуже простою хитрістю. Однак питання 2 і 3 залишаються відкритими. Статус підрахунку PATH цікавий сам по собі і тому, що це стандартна проблема DP і тому, що він є # P-завершеним.

— Стасіс
джерело

Щодо питання 1, а як додати 1 до многочлена, який важко порахувати?

— Цуйосі Іто,

Ваші три питання здаються досить чіткими, що у них повинно бути три окремих запитання.

— Девід Річербі

Я боюся, що ви не можете уникнути тривіальних прикладів, просто заборонивши константи в арифметичних схемах. Як щодо додавання x_1 +… + x_n до важко підрахункового многочлена, який бере початок 0? (Більше того, якщо ви забороняєте константи, ви не можете представляти поліном, який має початкове значення за походженням.)

— Цуйосі Іто,

"Як і в" # P теорії ", під" рішенням "ми маємо на увазі" чи є принаймні одне рішення ". І константи зазвичай не є рішеннями. ' Знаєте, ви тут на слизькому схилі. Розглянемо аналог #P питання 1: наведіть приклад відносин R∈FNP таким, що #R є # P-повним, але легко визначити, чи #R (x)> 0 чи ні. Ми можемо спокусити сказати Matching, але це надмірність. Додавання тривіального рішення до 3SAT працює чудово, і мій попередній коментар є аналогічним цьому. (детальніше)

— Цуйосі Іто,

@Tsuyoshi Ito: Ну, ваш простий трюк (додайте суму всіх змінних до складно підрахункового полінома) насправді відповідає на питання 1 (у тому вигляді, який було зазначено). Чи можете ви поставити це як відповідь?

— Стасіс

(Я публікую свої коментарі як відповідь у відповідь на запит ОП.)

Щодо питання 1, то нехай f _n : {0,1} ⁿ → ℕ - сімейство функцій, арифметична схема яких вимагає експоненціального розміру. Тоді так само f _n +1, але f _n +1 легко вирішити за тривіальним монотонним арифметичним ланцюгом. Якщо ви віддаєте перевагу уникати констант в монотонних арифметичних схемах, то нехай f _n : {0,1} ⁿ → ℕ - це сім'я функцій, така що арифметична схема для f _n вимагає експоненціальних розмірів і f _n (0,…, 0) = 0, і розглянемо f _n + x ₁ +… + x _n .

— Цуйосі Іто
джерело