Чому ГАМИЛТОНСЬКИЙ ЦИКЛ настільки відрізняється від ПОСТІЙНОГО?

Поліном - монотонна проекція полінома якщо = poly , і є призначення такі, що . Тобто, можна замінити кожну змінну з змінного або константами або , так що результуючий многочлен збігається з . f ( x 1 , … , x n ) g ( y 1 , … , y m ) m ( n ) π : { y 1 , … , y m } → { x 1 , … , x n , 0 , 1 } f ( x 1 , … , x n ) = $f(x_1,\ldots,x_n)$$g(y_1,\ldots,y_m)$$m$$(n)$$\pi:\{y_1,\ldots,y_m\}\to\{x_1,\ldots,x_n, 0,1\}$( π ( y 1 ) , … , π ( y m ) ) y j g x i 0 1 $f(x_1,\ldots,x_n)=g(\pi(y_1),\ldots,\pi(y_m))$$y_j$$g$$x_i$$0$$1$$f$

Мене цікавить (причини) різниця між постійним многочленом PER і поліномом Гамільтонового циклу HAM: де перше підсумовування перебуває над усіма перестановками , а друге - лише над усіма циклічними перестановками .

$$\mbox{PER}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}\ \ \ \ \mbox{and} \ \ \ \ \mbox{HAM}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}$$ $h:[n]\to[n]$$h:[n]\to[n]$

Питання: Чому HAM не є монотонною проекцією PER? Або все ще є?

Я не прошу доказів , лише з інтуїтивних причин.

Мотивація: Найбільша відома монотонна схема нижньої межі для PER (доведена Розборовим) залишається "лише" . З іншого боку, результати Valiant означають, що де з підсумовуванням над усіма підмножинами розміру . Я сам не міг отримати «просте, пряме» зменшення цих загальних результатів, але Алон та Боппана (у розділі 5) стверджують, що вже достатньо для цього скорочення. $n^{\Omega(\log n)}$

$$\mbox{CLIQUE$_n$ is a monotone projection of HAM$_{m}$}$$ $$\mbox{CLIQUE}_n(x)=\sum_{S}\prod_{i < j\in S}x_{i,j}$$ $S\subseteq [n]$$|S|=\sqrt{n}$$m=25n^2$

Але зачекайте: добре відомо, що CLIQUE вимагає монотонних схем розміром (вперше доведено Алоном і Боппаною методом Разборова). $2^{n^{\Omega(1)}}$

Отже, якби HAM була монотонною проекцією PER, ми мали б нижню межу також для PER. $2^{n^{\Omega(1)}}$

Власне, чому HAM навіть не є одноманітною проекцією PER? Над булева півкільця, колишній NP -повний, в той час як останній перебуває в P . Але чому? Де місце, де циклічність перестановки робить її такою особливою?

PS Очевидною відмінністю може бути: HAM охоплює [n] лише одним (довгим) циклом, тоді як PER може використовувати для цього цикли, що не перетинаються. Таким чином, для проектування PER на HAM виглядає тяжкий напрямок: переконайтесь, що відсутність гамільтонівського циклу означає відсутність у новому графіку будь-якого покриття роз'єднаними циклами. Це причина, що HAM не є проекцією PER?

PPS Власне, Valiant виявив більш вражаючий результат: кожен многочлен з , чий коефіцієнти - p-час, що обчислюється, є проекцією (не обов'язково монотонною, якщо альго немонотонна) HAM для = poly . PER також має цю властивість, але лише над полями характеристики . Таким чином, в цьому сенсі, HAM і PER є дійсно «схожі», якщо ми не будемо не в GF (2) де, як пам'ятав Бруно, PER повертається до визначник і легко.$f(x)=\sum_{u\subseteq [n]}c_u\prod_{i\in u}x_i$$c_u\in\{0,1\}$$c_u$$_m$$m$$(n)$$\neq 2$

Далі наведено доказ будь-якого кільця з характеристичним нулем, що поліном Гамільтонового циклу не є монотонною проекцією постійного розміру полінома. Основна ідея полягає в тому, що монотонні проекції многочленів з негативними коефіцієнтами призводять до того, що політоп Ньютона одного є розширеною формулою політопа Ньютона іншого, а потім застосовує останні нижні межі розширених рецептур.

Нехай f ( x 1 , ... , x n ) і g ( y 1 , ... , y m ) - поліноми з неотрицательними коефіцієнтами (як це має місце тут). Припустимо, що f - монотонна проекція g під призначення π (слідуючи позначенням питання). Під π кожний одночлен g отримує відображення або на 0 (якщо одна з його змінних відображається на 0), або на одночлен f : відміни не може бути через негативність.$f(x_1,\dotsc,x_n)$$g(y_1,\dotsc,y_m)$$f$$g$$\pi$$\pi$$g$$f$

Нехай N e w ( f ) позначає політоп Ньютона f і аналогічно N e w ( g ) .$New(f)$$f$$New(g)$

Претензія : існує розширена формуляція для N e w ( f ) в R m , використовуючи змінні ≤ n + m , і ряд обмежень, що становить щонайбільше n + m плюс кількість обмежень, що визначають N e w ( g ) .$New(f)$$\mathbb{R}^m$$\leq n+m$$n+m$$New(g)$

Ось як: Нехай e 1 , ... , e m - координати на R m (в якому живе N e w ( g ) ; тобто ціла точка в R m з координатами ( e 1 , ... , e m ) відповідає одночлен y e 1 1 ⋯ y e m m ). Для тих , хто я така , що π ( у я ) $e_1,\dotsc,e_m$$\mathbb{R}^m$$New(g)$$\mathbb{R}^m$$(e_1,\dotsc,e_m)$$y_1^{e_1} \dotsb y_m^{e_m}$$i$0 , перетинаємо N e w ( g ) з { e i = 0 } (оскільки тільки одночлени, які не включають y i, можуть сприяти проектуванню); це додає не більше m додаткових обмежень. Нехай P позначає отриманий політоп. Тоді π індукує лінійну карту L π : R m → R n , так що L π ( P ) = N e w ( f $\pi(y_i)=0$$New(g)$$\{e_i = 0\}$$y_i$$m$$P$$\pi$$L_{\pi}\colon \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{n}$$L_{\pi}(P) = New(f)$. Ця остання частина випливає з відсутності скасування. Таким чином, ми отримуємо розширену формулу для N e w ( f ) , беручи n + m змінних, обмеження для P на m змінних і обмеження, що визначають L π (яких є щонайбільше n , по одному для кожного x i ) . Претензія QED$New(f)$$n+m$$P$$m$$L_{\pi}$$n$$x_i$

Тепер візьміть п бути п -го Гамільтон циклу многочлена і г бути м -й постійним, і припустить , що F є монотонної проекцією г . Політоп Ньютона постійного (і визначального, до речі,) - це політоп оболонки циклу. Цей багатогранник легко описується "крайовими" змінними e i j та рівняннями m, вказуючи, що кожна вершина має ступінь точно 2.$f$$n$$g$$m$$f$$g$$e_{ij}$$m$

Політоп Ньютона Хама. Поліном циклу - це політоп циклу Гамільтонів (здивування, здивування). Але цей політоп - це політоп TSP, який вимагає рівнянь 2 n Ω ( 1 ) для опису будь-якої розширеної рецептури$2^{n^{\Omega(1)}}$ , яка, коли m є субекспоненціальною, суперечить малій розширеній рецептурі, заданій політопом покриття циклу та L π, як зазначено вище.$m$$L_{\pi}$

(Зверніть увагу, що цей аргумент не вдається, якщо f , g або π можуть мати негативні коефіцієнти, оскільки тоді можуть бути скасування, тому L π не потрібно відображати на N e w ( f ) .)$f$$g$$\pi$$L_{\pi}$$New(f)$

Цікаво відзначити, що геометрія цих політопів тісно пов'язана з тим, що відповідність знаходиться в P, тоді як цикл Гамільтона є N P -комплектним, але я думаю, що наведені вище міркування показують, як геометрична структура тут дійсно може додати щось поза цією класифікацією складності .$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$