Чому конструктивісти, здається, не надто піклуються про дзвінки / кубики

Тому трохи часу назад мені вперше хтось сказав, що виклик / куб.см може дозволити об'єкти доказів для класичних доказів, застосовуючи закон Періса. Нещодавно я подумав над цією темою, і, здається, не знайшов у ній недоліку. Однак я не можу насправді бачити, щоб хтось говорив про це. Це здається порожнім обговорення. Що дає?

Мені здається, якщо у вас є така конструкція, як в якомусь контексті, то 1 з двох речей є істинним. Або у вас є доступ до примірника ⊥ як - то в поточному контексті , в якому управління потоком випадку ніколи б не досягти тут , і ми з упевненістю припустити , що б не АБО , враховуючи , що е : ¬ ( ¬ P ) означає F : ( P → ⊥ ) → ⊥ єдиний спосіб е може повернутися ⊥ є побудова примірника $f : \neg(\neg P)$$\bot$$f : \neg(\neg P)$$f : (P \to \bot) \to \bot$$f$$\bot$$P$і застосувавши його два - це аргумент (екземпляр . У такому випадку вже був ДЕЙШИЙ спосіб побудови екземпляра P ; Для дзвінка / куб. см здається розумним витягти цю конструкцію для мене. Мої міркування тут здаються мені дещо підозрілими, але моя розгубленість все ще залишається. Якщо call / cc не просто створює екземпляр P з повітря (я не бачу, як це), то в чому проблема?$P \to \bot)$$P$$P$

У деяких добре набраних термінів, що не містять call / cc, немає нормальних форм? Чи є якась інша властивість таких виразів, яка викликає їх підозру? Чи є якась помічена причина, чому конструктивіст не повинен любити call / cc?

Конструктивна математика - це не просто формальна система, а швидше розуміння того, що таке математика. Або кажучи інакше, не кожен вид семантики приймається конструктивним математиком.

Для конструктивного математика це call/ccвиглядає як обман. Розглянемо, як ми спостерігаємо використовуючи :$p \lor \lnot p$call/cc

1. Ми надаємо функцію яка нібито доводить ¬ p . Насправді f - мішок хитрощів.$f$$\lnot p$$f$
2. Якщо хтось коли-небудь застосовує до доказу p , то f відпускає повернути час назад і, маючи доказ p в руці, змінює свою думку про p ∨ ¬ p : цього разу стверджуючи, що це доказ p .$f$$p$$f$call/cc$p$$p \lor \lnot p$$p$

Конструктивне розуміння диз'юнкції - це алгоритмічне розбірливість , але сказане навряд чи приймає будь-які рішення. Як тест, конструктивний математик може запитати вас, як call/ccдопомагає довести, що кожна машина Тьюрінга зупиняється або розходиться. І яка програма свідчить про цей факт? (Це повинен бути Оракул припинення.)

Як зазначаєте, в цьому сенсі можлива конструктивна інтерпретація класичної логіки. Про те, що класична логіка є співзвучною інтуїтивістській логіці (скажімо, Хейтінг Арифметика), було відомо вже досить давно (вже в 1933 р., Наприклад, Годель ), використовуючи подвійний переклад заперечення.

Більш складним аргументом можна показати, що арифметика Пеано консервативна щодо HA для тверджень. Суть результату полягає в тому, що класичні докази Π 0 2 за участю c a l l / c c мають такий самий обчислювальний зміст, як і твердження без цієї конструкції (шляхом перетворення CPS ).$\Pi^0_2$$\Pi^0_2$$\mathrm{call/cc}$

Однак це не стосується тверджень вище : заяви в Σ 0 3 , які можна перевірити в ПА, можуть не мати нормальної форми, здатної витягати свідка! Комп'ютерні вчені можуть не перейматися обчисленням доказів на цьому рівні, але це дещо незручно з філософських міркувань: чи ми довели існування чогось, чи ні?$\Pi^0_2$$\Sigma^0_3$

Я думаю, що це підсумовує, чому "фіксація" неконструктивної логіки шляхом додавання може бути незадовільною.$\mathrm{call/cc}$

$\lambda\overline{\mu}\tilde\mu$

$\Pi^0_2$

Редагувати: Дуже актуальне запитання про mathoverflow з’являється тут: /mathpro/29577/solved-sequent-calculus-as-programming-language

Я згоден і з відповіддю Андрія, і з Коді. Однак я думаю, що також варто згадати, чому конструктивістам слід піклуватися про операторів управління (call / cc).

$\neg\neg P\vdash P$

$\Pi^0_2$

$P$$\Sigma^0_1$