Застосування для теорії множин, теорії порядків, нескінченної комбінаторики та загальної топології з інформатики?

15

Я математик, який цікавиться теорією множин, ординальною теорією, нескінченною комбінаторикою та загальною топологією.

Чи є додатки з цих предметів з інформатики? Я трохи роздивився і знайшов багато застосувань (звичайно) для теорії кінцевих графів, кінцевої топології, низькомірної топології, геометричної топології тощо.

Однак я шукаю застосування нескінченних об'єктів цих предметів, тобто нескінченних дерев (наприклад, дерева Aronszajn ), нескінченної топології тощо.

Будь-які ідеї?

Дякую!!

set-theory topology topological-graph-theory

— user135172
джерело

1

див. також Застосування предметів теорії множин як порядків, форсування, загальних фільтрів в інженерії програм cs.se

— vzn

2

Окрім чудової відповіді Ніла, вас також можуть зацікавити обчислювальні порядки, які відіграють цікаву роль у теорії обчислень: en.wikipedia.org/wiki/Recursive_ordinal

— Джошуа Грохов

21

Одне головне застосування топології в семантиці - це топологічний підхід до обчислюваності.

Основна ідея топології обчислюваності випливає із зауваження, що припинення та непереривання не є симетричними. Можна спостерігати, чи припиняється програма з чорного поля (просто чекати досить довго), але не можна спостерігати, чи вона не припиняється (оскільки ви ніколи не можете бути впевнені, що не чекали досить довго, щоб її закінчити). Це відповідає оснащенню двох точкових множин {HALT, LOOP} топологією Сірпінського, де $\emptyset, \{HALT\}, and \{HALT, LOOP\}$ є відкриті набори. Тож ми в основному можемо досить далеко прирівняти "відкритий набір" до "обчислювальної властивості". Одне здивування такого підходу до традиційних топологів - центральна роль, яку відіграють простори Хаусдорфа. Це тому, що ви в основному можете зробити наступні ідентифікації

\begin{matrix} С о м p у т а б i л i т у & Т о p о л о г у \\ Тип & Космос \\ Обчислювальна функція & Безперервна функція \\ Рішучий набір & Clopen set \\ Напіврозбірний набір & Відкритий набір \\ Набір з напіврозрізним доповненням & Закритий набір \\ Встановити рішучу рівність & Дискретний простір \\ Встановити з однозначною рівністю & Простір Хаусдорфа \\ Вичерпно шукати набір & Компактний простір \end{matrix}

$\begin{matrix} \mathbf{Computability} & \mathbf{Topology}\\ \mbox{Type} & \mbox{Space} \\ \mbox{Computable function} & \mbox{Continuous function} \\ \mbox{Decidable set} & \mbox{Clopen set} \\ \mbox{Semi-decidable set} & \mbox{Open set} \\ \mbox{Set with semidecidable complement} & \mbox{Closed set} \\ \mbox{Set with decidable equality} & \mbox{Discrete space} \\ \mbox{Set with semidecidable equality} & \mbox{Hausdorff space} \\ \mbox{Exhaustively searchable set} & \mbox{Compact space} \\ \end{matrix}$

Два хороших дослідження цих ідей - це топологія М. Б. Сміта в Довіднику логіки в галузі інформатики та Синтетична топологія типів даних Мартіна Ескардо та класичні простори .

Топологічні методи також відіграють важливу роль у семантиці паралельності, але я знаю про це набагато менше.

— Ніл Кришнасвамі
джерело

Дякую за освічуючу відповідь! Я буду дивитись.

— користувач135172

Чи можна шукати більш тонку топологію лише для ієрархії поліномів?

— Т ....

1

Захоплююче застосування цих ідей можна знайти у серії публікацій "Начебто неможливі функціональні програми" - math.andrej.com/2007/09/28/… , math.andrej.com/2014/05/08/seemingly-impossible -proofs

— jkff

1

Чи можете ви дати нам трохи більше тут? Я вважаю цю відповідь дуже важкою для розуміння. Наприклад, припустимо для суперечності, що напіврозбірливі підмножини

утворюють топологію, як ви, схоже, стверджуєте. Тоді випливає, що оскільки для кожного натурального числа

множина синглів

є напіврозв'язним, отже, довільні об'єднання односинних підмножин

є напіврозв'язними. Ерго кожен підмножина

напіврозв'язний, суперечність.

N

$\mathbb{N}$

k \in N

$k \in \mathbb{N}$

{k} \subseteq N

$\{k\} \subseteq \mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

— гоблін

4

Премію Геделя 2004 року поділили між документами:

Топологічна структура асинхронного обчислення .
Моріс Херліхі та Нір Шавіт, Журнал АСМ, Вип. 46 (1999), 858–923
Неможливо домовитись про k-set угоду: топологія громадських знань .
Майкл Сакс та Фотіос Захароглу, SIAM J. з питань обчислень, Vol. 29 (2000), 1449-1483.

Цитати з премії Геделя 2004 року:

Два документи пропонують один з найважливіших проривів у теорії розподілених обчислень.

Виявлення топологічної сутності розподілених обчислень дає нову точку зору і являє собою один із найяскравіших прикладів, можливо, у всій прикладної математики використання топологічних структур для кількісної оцінки природних обчислювальних явищ.

Повідомлення по темі : Застосування топології до інформатики

— хенксин
джерело

3

Хоча це, безумовно, чудові застосування топології в ТКС, вони справді є застосуваннями "комбінаторної / алгебраїчної топології", а не того, що, на мою думку, ОП мається на увазі під "загальною топологією" (що більше в точково-теоретичному / теоретико-множинному / логічному арена).

— Джошуа Грохов

4

Поведінка реактивної системи часто моделюється за допомогою нескінченних структур (нескінченних дерев і нескінченних обчислень), а їх часові властивості (властивості безпеки та життєдіяльності) також характеризуються за допомогою топології.

Визначення життєдіяльності Альперна та Шнайдера

Безпека та життєздатність у час відгалуження Manolios et. ін.

— Мітеш Дж
джерело