Найменший універсальний комбінатор

Я шукаю найменший можливий універсальний комбінатор , вимірюваний кількістю абстракцій та додатків, необхідних для визначення такого комбінатора в обчисленні лямбда . Приклади універсальних комбінаторів включають:

• розмір 23: λf.f (fS (KKKI)) K
• розмір 18: λf.f (fS (KK)) K
• розмір 14: λf.fKSK
• розмір 12: λf.fS (λxyz.x)
• розмір 11: λf.fSK

де S = λxyz.xz (yz) розміром 6 і K = λxy.x розміром 2 є комбінаторами числення комбінатора SK . Перші 4 приклади описані в цій роботі .

Мої запитання:

• Чи є універсальні комбінатори, що мають менші розміри?
• Який найменший можливий універсальний комбінатор?

EDIT: Дивіться також /math//a/180263/76284 , який має λazbc.bc(a(λy.c))(який має бути розміром 8 , що відповідає сумі розмірів основи SK). Хтось знає, як виразити S і K від цього комбінатора?

Слід зазначити, що знайти комбінатори з певними властивостями відновлення завжди важко, а знайти найменшого такого комбінатора може бути легко не можна визначити (з тривіальних причин, оскільки це може бути неоднозначним довести, що певне застосування комбінатора навіть зупиняється).

Існує кілька простих відкритих питань подібного аромату, наприклад, проблеми №4, №6 та №10 зі списку відкритих проблем TLCA .

Варто зазначити, що ваш комбінатор, безумовно, повинен мати щонайменше 2 пов'язані змінні, одна з яких дублюється (як і будь-який повний набір комбінаторів), а одну потрібно стерти. Це ставить нижню межу в 4, я думаю (2 абстракції та 2 види змінної), що не так далеко від верхньої межі 11.

Редагувати: коментарі та посилання Ноама підсувають нижню межу до 5! Я не був би здивований, якщо доказ також вимагає появи додаткової змінної, яка підштовхне нас до 6.

Для вашого першого питання я вважаю, що цей документ може допомогти купу. У ньому є 6-бітове обчислення комбінаторів, яке також є UTM. Крім того, він має універсальний комбінатор, який, здається, має розмір 7 з одним елементом з урахуванням того, що вам потрібно. Вони називають це Зот. http://arxiv.org/pdf/cs/0508056v1.pdf

Я не впевнений, чи можете ви сказати чи довести, що існує мінімальний комбінатор. У документі можна припустити, що вона повинна бути принаймні меншою ніж 6 біт.