найменший розмір ланцюга за допомогою воріт XOR

Припустимо, нам дано набір n булевих змінних x_1, ..., x_n та набір m функцій y_1 ... y_m, де кожен y_i є XOR (даного) підмножини цих змінних. Мета - обчислити мінімальну кількість операцій XOR, які потрібно виконати для обчислення всіх цих функцій y_1 ... y_m.

Зауважте, що результат операції XOR, скажімо x_1 XOR x_2, може бути використаний при обчисленні декількох y_j, але рахується як один. Також зауважте, що може бути корисним обчислити XOR набагато більшу колекцію x_i (більший, ніж будь-яка функція y_i, наприклад, обчислення XOR усіх x_i), щоб ефективніше обчислити y_i,

Припустимо, що у нас є двійкова матриця A і вектор X, а мета - обчислити вектор Y таким, що AX = Y, де всі операції, виконані в GF (2), використовуючи мінімальну кількість операцій.

Навіть коли кожен рядок A має рівно k один (скажімо, k = 3), це цікаво. Хтось знає про складність (твердість наближення) для цього питання?

Мохаммед Салаватіопур

Це NP-важко. Дивіться: Джоан Бояр, Філіп Меттьюз, Рене Перельта. Техніки мінімізації логіки з додатками до криптології. http://link.springer.com/article/10.1007/s00145-012-9124-7

Зниження від Vertex Cover і дуже приємно.

Дано графік з m = | Е | , визначимо матрицю m × ( n + 1 ) A як: A [ i , j ] = 1, якщо j < n + 1 і ( i , j ) ∈ E , і A [ i , $(\{1,\ldots,n\},E)$$m=|E|$$m \times (n+1)$$A$$A[i,j] = 1$$j < n+1$$(i,j) \in E$ . Іншими словами, при п + 1 змінних х 1 , ... , х п + 1 , ми хочемо обчислити т лінійні форми х я + х J + х п + 1 для всіх ( я , J ) ∈ E .$A[i,n+1] = 1$$n+1$$x_1,\ldots,x_{n+1}$$m$$x_i+x_j+x_{n+1}$$(i,j) \in E$

Невелика думка показує, що існує схема XOR для з воротами вентилятора в двох обчислювальних лінійних перетвореннях A лише з воротами m + k , де k - оптимальне покриття вершин для графіка. (Спочатку обчисліть x i ′ + x n + 1 для всіх i ′ у кришці вершини, використовуючи k операцій. Потім лінійні форми обчислюються в m більше операцій.) Виявляється, це також схема мінімального розміру!$A$$A$$m+k$$k$$x_{i'} + x_{n+1}$$i'$$k$$m$

Доказ того, що зменшення є правильним, не так приємно. Я хотів би побачити короткий доказ того, що це зменшення є правильним.