Документи для отримання спектрального розподілу графіків

Якщо - непрямий d -регулярний графік, а S - підмножина вершин кардинальності ≤ | V | / 2 , викличте розширення краю в S р кількість$G=(V,E)$$d$$S$$\leq |V|/2$$S$

$\phi(S) := \frac {Edges(S,V-S)}{d\cdot |S|\cdot |V-S|}$

Там , де являє собою число ребер з однієї кінцевої точки в А і однієї кінцевої точки в B . Тоді проблема розширення краю полягає у пошуку набору S з | S | ≤ | V | / 2, що мінімізує ϕ ( S ) . Виклик ϕ ( G ) розширення оптимального набору.$Edges(A,B)$$A$$B$$S$$|S|\leq |V|/2$$\phi(S)$$\phi(G)$

Спектральна Розмітка Алгоритм для завдання прикордонного розширення працює шляхом знаходження власний вектор з другого по величині власного значення А , матриці суміжності G , а потім з урахуванням всіх `` порогових наборами «» S виду { v : х ( V ) ≤ t } над усіма порогами t . Якщо нехай λ 2 є другим за величиною власним значенням матриці $x$$A$$G$$S$$\{ v : x(v) \leq t \}$$t$$\lambda_2$, тоді аналіз алгоритму розподілу спектра показує, що найкращий поріг, встановленийSSP,знайдений алгоритмом, задовольняє$\frac 1d \cdot A$$S_{SP}$

$\phi(S_{SP}) \leq 2\sqrt {\phi(G)}$

Що випливає з нерівностей Чегера

$\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

і

$1-\lambda_2 \leq 2 \phi(G)$

Який перший документ, який подав таку претензію? Які папери підлягають кредитуванню за ідеї? Ось що я отримав:

• Н. Алон та В. Д. Мільман. , ізопериметричні нерівності для графіків та суперконцентратори, Журнал комбінаторної теорії, серія B, 1985, 38 (1): 73-88 $\lambda_1$

  Доведіть результат у дусі "простої" нерівності Чегера , але для розширення вершин замість розширення ребер. Визнайте, що зв'язок між розширенням краю та власними значеннями - це дискретна версія проблеми, яку вивчав Чегер в $1-\lambda_2 \leq 2\phi(G)$

  Дж. Чигер. Нижня межа для найменшого власного значення лаплаціанця. Проблеми в аналізі, 1970 рік.

• Н. Алон. Власні значення та розширювачі. Combinatorica. 6 (2): 83-96, 1986.

  Доводить результат у дусі складної нерівності Чегера але для розширення вершин замість розширення ребер. $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

• А. Сінклер, М. Джерум. Приблизний підрахунок, рівномірне генерування та швидко змішування ланцюгів Маркова. Інформація та обчислення 82: 93-133, 1989 (версія конференції 1987)

  Доведіть нерівності Чегера, як сказано вище. (Їх робота вивчає _провідність_ ланцюгів Маркова, що повертаються за часом, що трапляється рівним розширенням_потоку_ у звичайних графіках.) Вони приписують роботу Алона та Мільмана та Алона за методики. Вони також приписують Aldous за пов'язану межу між часом змішування та розширенням ребер у звичайних графіках.

• М Михайло. Провідність і конвергенція ланцюгів Маркова - комбінаторна обробка розширювачів. FOCS 1989, стор. 526-531

  Хоча головний пункт статті полягає в тому, що його методи застосовуються до нереверсивних за часом ланцюгів Маркова, коли він застосовується до регулярних непрямих графіків, він має перевагу перед попередньою роботою: він показує, що якщо запускати алгоритм спектрального розподілу з довільним завданням вектору, все ж отримується нерівність деλ′- коефіцієнт Релея вектора. Аргументи Алона, Мільмана, Сінклера та Джерума вимагають власне власного вектора. Це стосується швидких алгоритмів розподілу спектрального спектру, які використовують наближені власні вектори. $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda')}$$\lambda'$

Чи існують інші документи, які слід зараховувати з точки зору методів доказування?

Коли вперше розпізнається алгоритмічне значення вищезазначених результатів як алгоритмів розподілу графіків? Вищезгадані документи не мають такого обговорення.

$\lambda_2$$\lambda_2$

Цікаво, що в кінці статті Фідлера є зауваження, що вказує на незалежний технічний звіт Андерсона та Морлі під назвою "Власні цінності лаплакійця на графіку 1971 року", який, мабуть, мав подібні ідеї. Однак цей документ Андерсона та Морлі з такою ж назвою з'явився у "Лінійній та багатолінійній алгебри" лише у 1985 році.

Я пам'ятаю кілька додаткових посилань тієї епохи:

1) Діаконіс та Строк, Геометричні межі для власних значень ланцюгів Маркова, Аннали прикладної ймовірності, 1991; але я пам’ятаю, як потрапив до друку десь у 1990 році. Цей документ у свою чергу посилається на

2) Додзюк, рівняння різниці, ізопериметрична нерівність та швидкоплинність певних випадкових прогулянок, трансакції Американського математичного товариства, 1984 рік.

Крім того, важливим документом «Алгоритмічного супутника» для Сінклера та Джерума на той час був

3) Дайзер Фриз Каннан, алгоритм випадкового поліноміального часу для наближення об'єму опуклих тіл, STOC 89. Звичайно, результати тут були побудовані на вершині SJ.