Разборов довів, що монотонна відповідність функції не в mP . Але чи можна обчислити відповідність за допомогою ланцюга розмірів полінома з кількома запереченнями? Чи існує схема P / poly із запереченнями $O(n^\epsilon)$ що обчислює відповідність? Який компроміс між кількістю заперечень та розміром відповідності?

Марков довів, що будь-яку функцію з входів можна обчислити лише . Ефективну конструктивну версію описав Фішер. Дивіться також виклад результату з блогу GLL .⌈ журнал ( n + 1 ) $n$$\lceil \log (n+1)\rceil$

Точніше:

Теорема: Припустимо, що обчислюється ланцюгом C з г- воротами, тоді вона також обчислюється ланцюгом C ∗ з 2 g + O ( n 2 log 2 n ) ворота та ⌈ log ( n + 1 ) ⌉ заперечення.$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^m$$C$$g$$C^*$$2g + O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$

Основна ідея полягає в тому, щоб додати до кожного дроту в C паралельний дріт w ′ в C ∗, який завжди несе доповнення w . Базовий випадок призначений для вхідних проводів: Фішер описує, як побудувати інверсійну схему I ( x ) = ¯ x з O ( n 2 log 2 n ) воротами і лише tions log ( n + 1 ) ⌉ відхиленнями. Для воріт AND ланцюга C ми можемо збільшити $w$$C$$w'$$C^*$$w$$I(x) = \overline x$$O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$$C$ з a ′ = b ′ ∨ c ′ і аналогічно для воріт АБО. НЕ ворота в C нічого не коштують, ми просто поміняємо ролі w і w ' вниз від ворота NOT. Таким чином, вся схема, крім інверторної схеми, є монотонною.$a = b \land c$$a' = b' \lor c'$$C$$w$$w'$

А. А. Марков. Про складність інверсії системи функцій. J. ACM , 5 (4): 331–334, 1958.

MJ Fischer. Складність обмежених запереченням мереж - коротке опитування. В теорії автоматів і формальних мовах , 71–82, 1975

Як обчислити інверсію біт, використовуючи n заперечень$2^n-1$$n$

Нехай біти сортуються у порядку зменшення, тобто i < j означає x i ≥ x j . Цього можна досягти монотонною мережею сортування на зразок мережі сортування Ajtai – Komlós – Szemerédi.$x_0, \ldots, x_{2^n-1}$$i<j$$x_i \ge x_j$

Інверсійну схему визначаємо для біт I n ( → x ) індуктивно: Для базового випадку маємо n = 1 і I 1 0 ( → x ) : = ¬ x 0 . Нехай m = 2 n - 1 . Зменшуємо I n (на 2 м + 1 ) біт до одного I n - 1 воріт (для $2^n-1$$I^n(\vec{x})$$n=1$$I^1_0(\vec{x}) := \lnot x_0$$m=2^{n-1}$$I^n$$2m+1$$I^{n-1}$$m$біт) і один затвор заперечення за допомогою і ∨ воріт. Для обчислення ¬ x m використовуємо заперечення . Для i < m нехай y i : = ( x i ∧ ¬ x m ) ∨ x m + i . Ми використовуємо I n - 1 для обертання → y . Тепер ми можемо визначити I n так:$\land$$\lor$$\lnot x_m$$i<m$$y_i := (x_i \land \lnot x_m) \lor x_{m+i}$$I^{n-1}$$\vec{y}$$I^n$

Переконати цю інверсію легко , розглядаючи можливі значення x n та використовуючи той факт, що → x зменшується.$\vec{x}$$x_n$$\vec{x}$

Від Майкла Дж. Фішера, Складність обмежених запереченням мереж - коротке опитування, 1975 рік.