Коефіцієнти Фур'є Булеві функції, описані ланцюгами обмеженої глибини з воротами AND АБО і XOR

Нехай $f$ - булева функція, і подумаємо про f як функцію від $\{-1,1\}^n$ до $\{ -1,1 \}$ . У цій мові фур'є-розширення f - це просто розширення f з точки зору квадратних вільних одночленів. (Ці $2^n$ одночленів складають основу простору реальних функцій на $\{-1,1\}^n$ . Сума квадратів коефіцієнтів просто $1$ так $f$ призводить до розподілу ймовірності на квадратних вільних одночленах. Назвемо цей розподіл F-розподілом.

Якщо f можна описати обмеженою схемою глибини розміру полінома, то за теоремою Лініяла, Мансура та Нісана ми знаємо, що розподіл F зосереджено на одночленах $\text{polylog } n$ розміром майже до майже експоненціально малої ваги. Це походить від лема з перемиканням Хастада. (Прямий доказ був би найбажанішим.)

Що відбувається, коли ми додаємо ворота mod 2? Одним із прикладів, який слід розглядати, є функція $IP_{2n}$ на $2n$ змінних, яка описується як внутрішній продукт mod 2 перших n змінних та останніх n змінних. Тут розподіл F є рівномірним.

Запитання : Чи F-розподіл булевої функції описується обмеженим розміром полінома глибини І, АБО, контур MOD сконцентрований (аж до суперполіномічно малої помилки) на "рівнях"? $_2$ $o(n)$

Зауваження :

Одним із можливих шляхів до контрприкладу було б "якось склеїти" різні IP на непересічні набори змінних, але я не бачу, як це зробити. Можливо, слід послабити запитання і дозволити призначити певні ваги змінним, але я не бачу чіткого способу для цього. (Тож посилання на ці два питання також є частиною того, про що я прошу.) $_2k$
Я б припускав, що позитивна відповідь на питання (або на успішну варіацію) буде застосована також тоді, коли ви дозволите ворота mod . (Отже, запитання було мотивоване останнім вражаючим результатом Раян Вільямс. $_k$
Для ОСНОВНОГО розподілу F великий (1 / полі) для кожного "рівня".

Як показав Лука, відповідь на запитання, яке я задав, - «ні». Залишилося питання - запропонувати способи пошуку властивостей F-розподілів булевих функцій, які можуть бути описані ІЛИ АБО та модами 2, що не поділяються на МАЙБОРИТЕТ.

Спроба зберегти питання, розповівши про функції MONOTONE:

$_2$ $o(n)$

$o(n)$ $\text{polylog} (n)$

— Гіл Калай
джерело

Здається, дуже сильна думка, було б дуже цікаво, якби є докази, що це може бути правдою. Чи є за цим інтуїція, що для контурів постійної глибини з модними воротами ви можете мати функції, не чутливі до шуму, як поліноми низького ступеня, або ідеально випадкові, як парність, але важко створити щось посередині, як більшість?

— Боаз Барак

Шановний Боаз, (я б очікував контрприкладу до сильного запропонованого твердження.) Re: інтуїція, заміни "ідеально випадковим" на "подібний Бернулі". Як я пам’ятаю, коли ви розглядаєте єдиний мод k ворота, то F-розподіл - це як певний розподіл Бернулі (а саме вага для | S | - це як p ^ | S | (1-p) ^ {n- | S | } для деякого p, не обов'язково p = 1 / 2. Отже, виглядає, що малі обмежені схеми глибини з модними воротами маніпулюють у своїх F-дистрибуціях такими розподілами Бернулі, можливо, властивістю "більшості ваг на декількох рівнях" (Або якийсь інший власність розподілу Бернулі) зберігається.

— Гіл Калай

Гіл, чи щось подібне було б контрприкладом?

$m$ $n=m+\log m$ $n$ $(x,i)$ $x$ $(x_1,\ldots ,x_m)$ $i$ $1,\ldots,m$

$f(x,i):= x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$

$i=1,\ldots,m$ $1/m$ $x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$ $1/m^2$

f () може бути реалізований у глибині-3: покладіть всі XOR у шар, а потім зробіть "виділення" у два шари AND, OR або NOT (не рахуючи NOT як додавання до глибини, як зазвичай).

— Лука Тревісан
джерело

так, Лука, схоже, ти прав.

— Гіл Калай