Чи арифметичні схеми слабкіші за булеві?

Нехай позначає мінімальний розмір (немонотонної) арифметичної ( + , × , - ) схеми, що обчислює заданий багатолінійний многочлен f ( x 1 , … , x n ) = ∑ e ∈ E c e n ∏ i = 1 x e i$A(f)$$(+,\times,-)$ а B ( f ) позначають мінімальний розмір (немонотонної) булевоїсхеми ( ∨ , ∧ , ¬ ), що обчислюєбулева версія f b of f, визначений: f b ( x 1 , … , x n ) = ⋁ e ∈ E ⋀ i : e i ≠ 0 x

$$f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{e\in E}c_e\prod_{i=1}^n x_i^{e_i}\,,$$ $B(f)$$(\lor,\land,\neg)$ $f_b$$f$ $$f_b(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{e\in E}\ \bigwedge_{i\colon e_i\neq 0} x_i\,.$$

Чи відомі многочлени для яких B ( f ) менше, ніж A ( f ) ? $f$$B(f)$$A(f)$

Якщо ми розглянемо монотонні версії схем - немає мінусів і немає Не ( ¬ ) воріт - тоді B ( f ) може бути навіть експоненціально меншим, ніж A ( f ) : візьмемо, наприклад, найменший многочлен першого шляху f на К н ; тоді B ( f ) = O ( n 3 ) і A ( f ) = 2 Ω ( $(-)$$(\neg)$$B(f)$$A(f)$$f$$K_n$$B(f)=O(n^3)$ . Але що відбувається у «немонотонному світі»? Звичайно,великіпрогалини не можуть бути відомі лише тому, що у нас немає великих нижчих меж наA(f). Але, можливо, відомі хоч якісь невеликі прогалини? $A(f)=2^{\Omega(n)}$$A(f)$

---

ПРИМІТКА (15.03.2016) У своєму запитанні я не вказав, наскільки допустимі великі коефіцієнти . Ігор Сергєєв згадав мене , що, наприклад, наступне (одновимірний) многочлен F ( г ) = Σ м J = 1 2 2 J м г J має ( е ) = Ω ( м 1 / 2 ) (Strassen і люди його група). Але B ( f ) = 0 для цього многочлена, оскільки f b$c_e$$f(z)=\sum_{j=1}^m 2^{2^{jm}} z^j$$A(f)=\Omega(m^{1/2})$$B(f)=0$ . Ми можемо отримати Фрон ф абагатовимірниймногочлен F ' ( х 1 , ... , х п ) з п = увійти м зміннихдопомогою використання підстановки Кронекера. Пов’яжіть з кожним показником j одночлен X j = ∏ i : a i = 1 x i , де ( a 1 , … , a n$f_b(z)=z$$f$$f'(x_1,\ldots,x_n)$$n=\log m$$j$$X_j=\prod_{i:a_i=1}x_i$$(a_1,\ldots,a_n)$- коефіцієнти 0-1 двійкового подання . Тоді шуканий многочлен ф ' = Σ м J = 1 з J х J , і ми маємо , що ( е ' ) + п ≥ ( е ) = Ω ( м 1 / 2 ) = 2 Ω ( п ) . Але булева версія f ' є просто АБО змінних, тому B $j$$f'=\sum_{j=1}^m c_j X_j$ $$A(f')+n\geq A(f)=\Omega(m^{1/2})=2^{\Omega(n)}.$$ $f'$ , і у нас рівномірний експоненціальний зазор. Таким чином, якщо величина коефіцієнтів може бути потрійною експоненціальною в кількості n змінних, то розрив A ( f ) / B ( f ) можебути показаний навіть експоненціальним. (Власне, не сама величина - більше алгебраїчна залежність коефіцієнтів.) Ось чому справжньою проблемою з A ( f ) є випадокмалихкоефіцієнтів (в ідеалі лише 0-1). Але в цьому випадку, як згадував Джошуа, нижня межа A ( f $B(f')\leq n-1$$n$$A(f)/B(f)$ $A(f)$ Страссена та Баура (з коефіцієнтами 0-1) залишається найкращим, що ми маємо сьогодні.$A(f)=\Omega(n\log n)$

$\mathsf{VP}^0 \neq \mathsf{VNP}^0$

$\Omega(n \log n)$$\sum_{i=1}^n x_i^n$$\Omega(n \log n)$$x_1 \vee x_2 \vee \dotsb \vee x_n$