Чи арифметичні схеми слабкіші за булеві?


12

Нехай позначає мінімальний розмір (немонотонної) арифметичної ( + , × , - ) схеми, що обчислює заданий багатолінійний многочлен f ( x 1 , , x n ) = e E c e n i = 1 x e i iA(f)(+,×,) а B ( f ) позначають мінімальний розмір (немонотонної) булевоїсхеми ( , , ¬ ), що обчислюєбулева версія f b of f, визначений: f b ( x 1 , , x n ) = e E i : e i0 x i

f(x1,,xn)=eEcei=1nxiei,
B(f)(,,¬) fbf
fb(x1,,xn)=eE i:ei0xi.
Чи відомі многочлени для яких B ( f ) менше, ніж A ( f ) ? fB(f)A(f)

Якщо ми розглянемо монотонні версії схем - немає мінусів і немає Не ( ¬ ) воріт - тоді B ( f ) може бути навіть експоненціально меншим, ніж A ( f ) : візьмемо, наприклад, найменший многочлен першого шляху f на К н ; тоді B ( f ) = O ( n 3 ) і A ( f ) = 2 Ω ( n()(¬)B(f)A(f)fKnB(f)=O(n3) . Але що відбувається у «немонотонному світі»? Звичайно,великіпрогалини не можуть бути відомі лише тому, що у нас немає великих нижчих меж наA(f). Але, можливо, відомі хоч якісь невеликі прогалини? A(f)=2Ω(n)A(f)


ПРИМІТКА (15.03.2016) У своєму запитанні я не вказав, наскільки допустимі великі коефіцієнти . Ігор Сергєєв згадав мене , що, наприклад, наступне (одновимірний) многочлен F ( г ) = Σ м J = 1 2 2 J м г J має ( е ) = Ω ( м 1 / 2 ) (Strassen і люди його група). Але B ( f ) = 0 для цього многочлена, оскільки f b (cef(z)=j=1m22jmzjA(f)=Ω(m1/2)B(f)=0 . Ми можемо отримати Фрон ф абагатовимірниймногочлен F ' ( х 1 , ... , х п ) з п = увійти м зміннихдопомогою використання підстановки Кронекера. Пов’яжіть з кожним показником j одночлен X j = i : a i = 1 x i , де ( a 1 , , a n )fb(z)=zff(x1,,xn)n=logmjXj=i:ai=1xi(a1,,an)- коефіцієнти 0-1 двійкового подання . Тоді шуканий многочлен ф ' = Σ м J = 1 з J х J , і ми маємо , що ( е ' ) + п ( е ) = Ω ( м 1 / 2 ) = 2 Ω ( п ) . Але булева версія f ' є просто АБО змінних, тому B (jf=j=1mcjXj
A(f)+nA(f)=Ω(m1/2)=2Ω(n).
f , і у нас рівномірний експоненціальний зазор. Таким чином, якщо величина коефіцієнтів може бути потрійною експоненціальною в кількості n змінних, то розрив A ( f ) / B ( f ) можебути показаний навіть експоненціальним. (Власне, не сама величина - більше алгебраїчна залежність коефіцієнтів.) Ось чому справжньою проблемою з A ( f ) є випадокмалихкоефіцієнтів (в ідеалі лише 0-1). Але в цьому випадку, як згадував Джошуа, нижня межа A ( f )B(f)n1nA(f)/B(f) A(f) Страссена та Баура (з коефіцієнтами 0-1) залишається найкращим, що ми маємо сьогодні.A(f)=Ω(nlogn)

Відповіді:


9

VP0VNP0

Ω(nlogn)i=1nxinΩ(nlogn)x1x2xn


Привіт Джошуа: ти маєш рацію, постійний - це (хоч і умовний) приклад! Ну, ми не знаємо жодної нижньої межі на A (f) для постійної. Але якщо версії VP і VNP з постійною вільністю відрізняються, то ми знаємо поділ B (f) проти A (f), не знаючи (фактичної) межі.
Стасіс

2
Ω(nlogn)

1
у Джошуа: правильно, ще раз. Якщо f - сума n-ї потужності всіх n одиночних змінних, то B (f) - максимум n, а показник Баура-Страссена A (f) - щонайменше приблизно n разів логарифм n. Це найкраще відоме A (f). Отже, найбільший відомий явний розрив мого питання справді є лише логарифмічним. (Питання вбік: чи знаєте ви, чому мій @ завжди зникає в коментарях?)
Stasys

@Stasys: Гарний приклад. (Re: вбік. Я не вважаю. Я думаю, що система робить деякий автоматичний висновок, на кого саме "at-ed", і якщо ви направляєте повідомлення на "особу за замовчуванням", то це видаляє. Я думаю, що .)
Джошуа Грохов

Правильно. Автор публікації завжди отримує повідомлення про нові коментарі, тому система видаляє явне @ сповіщення як зайве.
Emil Jeřábek
Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.