Нехай позначає мінімальний розмір (немонотонної) арифметичної ( + , × , - ) схеми, що обчислює заданий багатолінійний многочлен f ( x 1 , … , x n ) = ∑ e ∈ E c e n ∏ i = 1 x e i i а B ( f ) позначають мінімальний розмір (немонотонної) булевоїсхеми ( ∨ , ∧ , ¬ ), що обчислюєбулева версія f b of f, визначений: f b ( x 1 , … , x n ) = ⋁ e ∈ E ⋀ i : e i ≠ 0 x i
Чи відомі многочлени для яких B ( f ) менше, ніж A ( f ) ?
Якщо ми розглянемо монотонні версії схем - немає мінусів і немає Не ( ¬ ) воріт - тоді B ( f ) може бути навіть експоненціально меншим, ніж A ( f ) : візьмемо, наприклад, найменший многочлен першого шляху f на К н ; тоді B ( f ) = O ( n 3 ) і A ( f ) = 2 Ω ( n . Але що відбувається у «немонотонному світі»? Звичайно,великіпрогалини не можуть бути відомі лише тому, що у нас немає великих нижчих меж наA(f). Але, можливо, відомі хоч якісь невеликі прогалини?
ПРИМІТКА (15.03.2016) У своєму запитанні я не вказав, наскільки допустимі великі коефіцієнти . Ігор Сергєєв згадав мене , що, наприклад, наступне (одновимірний) многочлен F ( г ) = Σ м J = 1 2 2 J м г J має ( е ) = Ω ( м 1 / 2 ) (Strassen і люди його група). Але B ( f ) = 0 для цього многочлена, оскільки f b ( . Ми можемо отримати Фрон ф абагатовимірниймногочлен F ' ( х 1 , ... , х п ) з п = увійти м зміннихдопомогою використання підстановки Кронекера. Пов’яжіть з кожним показником j одночлен X j = ∏ i : a i = 1 x i , де ( a 1 , … , a n )- коефіцієнти 0-1 двійкового подання . Тоді шуканий многочлен ф ' = Σ м J = 1 з J х J , і ми маємо , що ( е ' ) + п ≥ ( е ) = Ω ( м 1 / 2 ) = 2 Ω ( п ) . Але булева версія f ' є просто АБО змінних, тому B (