Коли нульовий розрив напіввизначеного програмування (СДП) дорівнює нулю?

10

Я не зміг знайти в літературі точну характеристику зникнення розриву дуалізму СДП. Або коли тримається "сильна подвійність"?

Наприклад, коли між «Лассером» і «SOS SDP» рухається туди-сюди, в принципі виникає розрив у подвійності. Однак якось, здається, є якась "тривіальна" причина, чому цього розриву немає.

Стан Слейтера здається достатнім, але не потрібним, і він стосується всіх опуклих програм. Я сподіваюся, що для СДП, зокрема, може статися щось сильніше. Я був би однаково радий бачити будь-який явний приклад використання умови Слейтера для доведення розриву роздвоєності.

— градстудент
джерело

10

Існує більш складна теорія подвійності для СДП, яка є точною: немає жодної «додаткової умови», як у випадку Слейтера. Це пов’язано з Раманою . (Про ще одне питання, пов'язане з SOS, див. [KS12] .) Якщо чесно, я ніколи не намагався зрозуміти ці документи і був би радий, якби хтось кинув їх за мене.

Одним із помітних наслідків цієї роботи є те, що проблема перевірки того, чи можлива дана СДП, є в НП тоді і лише в тому випадку, якщо вона знаходиться в співзвучності. (Однак, я думаю, експерти очікують, що проблема не в жодному. Найкраща відома верхня межа - PSPACE.)

— Райан О'Доннелл
джерело

Дякую за дуже корисну відповідь! Дозвольте мені подивитися це! (Який збіг обставин, що протягом останніх тижнів я також намагався працювати над вашим документом з Даніелем Кейн на глибоких нижчих межах мережі! Це такий навчальний папір! Мені було цікаво, якщо те, що ви робите для LTF, трапляється і для більше реалістичні активізації на кшталт ReLU.)

— gradstudent

9

min {t r (C^{T} X) : t r (A_{1}^{T} X) = b_{1}, \dots, t r (A_{m}^{T} X) = b_{m}, X ⪰ 0},

$\min\{ \mathrm{tr}(C^T X): \mathrm{tr}(A_1^T X) = b_1, \ldots, \mathrm{tr}(A_m^T X) = b_m, X \succeq 0\},$

X ≻ 0

$X\succ 0$

t r (A_{i}^{T} X) = b_{i}

$\mathrm{tr}(A_i^T X) = b_i$

{X : X_{1, 1} = 1, \dots, X_{n, n} = 1, X ⪰ 0}

$\{X: X_{1,1} = 1, \ldots, X_{n,n} = 1, X\succeq 0\}$

Що стосується ієрархії Лассера / Суми квадратів, Лассер показав, що якщо здійсненна множина, визначена поліноміальними обмеженнями, має внутрішню точку, то розриву у подвійності немає. Ви можете знайти слабкіші умови в цій статті .

— Сашо Ніколов
джерело

Дякую за довідки! Тож чи є умова перетвореного Слейтера також необхідною умовою для СДП? Або є інші необхідні умови? (Я скоро перегляну статті, про які ви згадували, але мені було цікаво, чи можете ви сказати щось про те, що ви мали на увазі під «слабкішим станом»?) Ви маєте на увазі, що стан у другій статті все ще є достатньою умовою, а не необхідною. умова, але простіша, ніж достатня умова в першому документі?)

— gradstudent

Це стандартна умова Slater, я щойно спеціалізувався на СДП, що спрощує питання, оскільки всі обмеження є чіткими, за винятком обмежень PSD. Ця умова не є необхідною. Я не думаю, що жоден із умов SoS також не потрібен, але "слабший" не вимагає існування внутрішнього пункту, тому це може бути легше перевірити.

— Сашо Ніколов

Дякую! Тож необхідна умова не відома?

— gradstudent

1

Існує приємна (я думаю ....) характеристика того, коли сильна подвійність тримається або не вдається {\ em all} об'єктивним функціям.

Ми говоримо, що напіввизначена {\ em система}

$(P_{SD}) \,\, \sum_{i=1}^m x_i A_i \preceq B$

це погано себе якщо тут цільова функція , для яких SDP $c$

$\sup c^T x \,\, s.t. \,\, \sum_{i=1}^m x_i A_i \preceq B$

має кінцеве оптимальне значення, але подвійний СДП не має рішення з однаковим значенням: тобто сильна подвійність не вдається для деякої $c.$

$(P_{SD})$ є добре себе , якщо він не погано себе. Тобто, для кожної об'єктивної функції зберігається сильна подвійність. (Тобто, для кожного для якого первинний СДП має кінцеве оптимальне значення, подвійний має рішення з однаковим значенням). $c$

Звичайно, якщо умова Слейтера виконується, то добре поводиться, але зворотне неправда. $(P_{SD})$

https://arxiv.org/pdf/1709.02423.pdf

Стаття незабаром виходить у SIAM Review. Сподіваюся, людям сподобається :)

— округ9
джерело