Чи мають графіки "зовнішньо обмеженого роду" постійну широку ширину?

Нехай і позначає через множину всіх графіків, які можна вбудувати на поверхню роду так, що всі вершини розташовані на зовнішній грані . Наприклад, - це набір зовнішніх площинних графіків. Чи може ширина графіків у бути верхньо обмеженою деякою функцією ?$k\in\mathbb{N}$$G_k$$k$$G_0$$G_k$$k$

Інший напрямок, очевидно, не дотримується, оскільки постійна ширина ширини навіть не передбачає постійного роду: Нехай є об'єднанням неперервних копій . Ширина ширини постійна, однак її рід .$H_n$$n$$K_{3,3}$$H_n$$n$

Так.

Додайте вершину посередині зовнішньої грані, з'єднану з усіма вершинами зовнішньої грані; це не змінює рід і не зменшує ширину. Тепер у графіка є дуже неглибоке дерево пошуку вперше вширилося з новою вершиною (все до нього прилягає).

Створіть розкидне дерево з подвійного графа, подвійні краї якого роз'єднуються від країв першого дерева пошуку вшир. Потім є набір O (рід) ребер, які не належать ні до одного дерева. Кожне з цих ребер індукує короткий цикл (трикутник) разом із контуром у першому дереві пошуку вшир, і різання поверхні вздовж цих циклів створює площинну поверхню (див. Мою роботу "Динамічні генератори топологічно вбудованих графіків"). Тобто, якщо G 'є підграфом вхідного графіка, індукованого вершинами, які не є кінцевими точками обрізаних ребер O (роду), то G' є площинним, і його вершини можуть бути охоплені O (рід) гранями його планарне вбудовування (грані, на які вирізані цикли вирізують оригінальну зовнішню сторону).

Але в площинному графіку, в якому всі вершини належать k граням, можна видалити інші O (k) ребра (дерево, що охоплює грані), щоб отримати зовнішній плоский графік. Отже, ширина G 'дорівнює O (рід). Якщо сформувати дерево-декомпозицію G 'з цією шириною, а потім додати до кожного мішка вершини, які є кінцевими точками обрізаних країв циклу, результатом є дерево-декомпозиція вихідного графіка вхідного сигналу з широтою ширини O (рід).

Мабуть, це має бути в літературі вже десь, але я не знаю, де і в деяких швидких пошуках не вдалося знайти явного твердження про цей точний результат. Однак більш загальне твердження є в іншій моїй статті: в розділі "Діаметр і широта ширини в сім'ї малих закритих графіків" я доводжу, серед іншого, що обмежені діаграми родів обмеженого діаметра обмежили ширину ширини. У цьому випадку (додаючи додаткову вершину на зовнішній стороні) діаметр можна вважати не більше двох.