VC розмірність многочленів над тропічними піврізами?

$\mathbf{BPP}$ $\mathbf{P}$ $\mathrm{poly}$ $(\max,+)$ $(\min,+)$

Нехай - семірінг. Нульовий шаблон з послідовності з многочленів є підмножина , для яких існує і , що для всіх , тоді і тільки тоді . Тобто графіки саме тих многочленів з повинні досягати точки . ("Нульовий шаблон", тому що умову можна замінити на ) Нехай $R$ $(f_1,\ldots,f_m)$ $m$ $R[x_1,\ldots,x_n]$ $S\subseteq \{1,\ldots,m\}$ $x\in R^n$ $y\in R$ $i=1,\ldots,m$ $f_i(x)= y$ $i\in S$ $f_i$ $i\in S$ $(x,y)\in R^{n+1}$ $f_i(x)=y$ $f_i(x)-y=0$ $Z(m)$ = максимально можлива кількість нульових шаблонів послідовності $m$ многочленів ступеня не більше $d$ . Отже, $0\leq Z(m)\leq 2^m$ . Розмір Вапніка-Червоненкіса з поліномами градуса $d$ дорівнює $VC(n,d) := \max\{m\colon Z(m)=2^m\}$ .

Зауваження: Зазвичай параметр VC визначається для сімейства ${\cal F}$ множин як найбільшої кардинальності $|S|$ з безлічі $S$ таке , що $\{F\cap S\colon F\in{\cal F}\}=2^S$ . Щоб вписатись у цей кадр, ми можемо асоціювати з кожною парою $(x,y)\in R^{n+1}$ множину $F_{x,y}$ усіх многочленів $f$ ступеня $\leq d$ для яких $f(x)=y$ утримує. Тоді розмір VC сімейства ${\cal F}$ всіх таких множин $F_{x,y}$ - це точно $VC(n,d)$ .

Тривіальна верхня межа на -(нам потрібно щонайменше різних векторів щоб мати всі можливі шаблони), але це не даремно у нескінченних півколах. Щоб мати гарні верхні межі на розмірі VC, нам потрібні хороші верхні межі на . Над полями такі межі відомі. $m=VC(n,d)$ $m\leq n\log |R|$ $2^m$ $x\in R^n$ $2^m$ $Z(m)$

Теорема 1: У будь-якому полі маємо . $R$ $Z(m)\leq \binom{md+n}{n}$

Подібні верхні межі були раніше доведені Мільнором , Генц і Уорреном ; їхні докази використовують важкі прийоми з реальної алгебраїчної геометрії. На противагу цьому, доказ на півсторінках теореми 1 Роняя, Бабая та Ганапатії (який ми наведемо нижче) - це просте застосування лінійної алгебри.

Шукаючи мале , що задовольняє , отримуємо, що має місце над будь-яким полем . З огляду на vs. / , тут важливо, що розмірність є лише логарифмічною у ступені . Це важливо, тому що схеми розміру полінома можуть обчислювати поліноми експоненціальної ступеня і тому, що результат Хаусслера в навчанні PAC (слідство 2 на стор. 114 цього документа ) дає наступне (де ми припускаємо, що детерміновані схеми дозволяють використовувати голоси більшості вивести їх значення). $m$ $\binom{md+n}{n} < 2^m$ $VC(n,d)=O(n\log d)$ $\mathbf{BPP}$ $\mathbf{P}$ $\mathrm{poly}$ $d$

Теорема 2: справедливо для схем над будь-яким семіруючим , де є поліномом лише у та . $\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P}/\mathrm{poly}$ $R$ $VC(n,d)$ $n$ $\log d$

Дивіться тут, як результат Хаусслера передбачає теорему 2.

Зокрема, за теоремою 1 утримує будь-яке поле. (Цікавим є лише випадок нескінченних полів. Для кінцевих - набагато простіші аргументи: Чернофф зв'язаний тоді спрацьовує.) А як щодо (нескінченних) півколів, які не поля, а то й не кільця? Мотивований динамічним програмуванням мене в основному цікавлять тропічні та піврічки, але цікаві й інші "непромислові" (нескінченні) піврінги. Зауважте, що над семіруванням поліном з і $\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P}/\mathrm{poly}$ $(\max,+)$ $(\min,+)$ $(\max,+)$ $f(x)=\sum_{a\in A} c_a\prod_{i=1}^n x_i^{a_i}$ $A\subseteq\mathbb{N}$ $c_a\in \mathbb{R}$ , перетворюється на задачу максимізації ; ступінь (як прийнято) максимум над усім . $f(x)=\max_{a\in A}\ \{c_a+a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\}$ $f$ $a_1+\cdots+a_n$ $a\in A$

Запитання: Чи є VC розмірність поліномів градусів над тропічними піврізами в ? $\leq d$ $n\log d$

Зізнаюсь, це може бути досить важким питанням, щоб очікувати швидкої відповіді: тропічна алгебра є досить «божевільною». Але, можливо, хтось має деякі ідеї щодо того, чому (якщо такі є) тропічні многочлени можуть створити більше нульових зразків, ніж реальні поліноми? Або чому вони "не повинні"? Або деякі пов'язані посилання.

Або, можливо, докази Бабая, Роняя та Ганапатії (внизу) можна якось «закрутити» для роботи над тропічними піврічками? Або над будь-якими іншими нескінченними піврічками (які не поля)?

Доведення теореми 1: Припустимо, що послідовність має різних нульових шаблонів, і нехай є свідками цих нульових шаблонів. Нехай є нульовою схемою, про яку свідчить -й вектор , і розглянемо поліноми . Ми стверджуємо, що ці многочлени лінійно незалежні над нашим полем. Це твердження завершує доказ теореми, оскільки кожен має ступінь максимум , а розмірність простору многочленів ступеня не більше - $(f_1,\ldots,f_m)$ $p$ $v_1,\ldots,v_p\in R^n$ $S_i=\{k\colon f_k(v_i)\neq 0\}$ $i$ $v_i$ $g_i:=\prod_{k\in S_i}f_k$ $g_i$ $D:=md$ $D$ $\binom{n+D}{D}$ . Для підтвердження твердження досить зазначити, що тоді і тільки тоді, коли . Припустимо, навпаки, існує нетривіальне лінійне відношення . Нехай - індекс, такий, щомінімальна серед з . Замініть у відношенні. Хоча , у нас є для всіх , суперечність. $g_i(v_j)\neq 0$ $S_i\subseteq S_j$ $\lambda_1 g_i(x)+\cdots+\lambda_p g_p(x)=0$ $j$ $|S_j|$ $S_i$ $\lambda_i\neq 0$ $v_j$ $\lambda_jg_j(v_j)\neq 0$ $\lambda_ig_i(v_j)=0$ $i\neq j$ $\Box$

— Стасіс
джерело

Я зрозумів, що відповідь на моє запитання - так: розмір VC поліномів ступеня $\leq d$ на $n$ змінних протягом будь-якого тропічного семірування є щонайбільше постійним часом $n^2\log(n+d)$ . Це можна показати, використовуючи теорему 1 вище. Детальніше дивіться тут . Таким чином, BPP $\subseteq$ P / poly справедливий і для тропічних ланцюгів, а отже, і для "чистих" алгоритмів динамічного програмування.

NB (додано 25.06.2019) Тим часом я повністю вирішив проблему в цій роботі . У такій загальності, про яку я навіть не мріяв на початку. Тропічний випадок тут просто дуже, дуже особливий випадок. І ще цікавіше: просто відповідним поєднанням уже знаних (глибоких у будь-якому відношенні) результатів інших авторів.

Що ще потрібно зробити в цьому напрямку (BPP проти P / poly)? Окрім зменшення розміру отриманих детермінованих схем (цікаве питання саме по собі).

— Стасіс
джерело