Стиснення інформації про проблему зупинки машин Oracle Turing

Загальновідомо, що проблема зупинки є непорушною. Однак можна експоненціально «стиснути» інформацію про проблему зупинки, щоб розпакувати її обчислимо.

Точніше, можна обчислити опис машин Тьюрінга і n -біт поради, що визначають відповідь на проблему зупинки для всіх 2 n - 1 машин Тьюрінга, припускаючи, що порада є надійною - ми дозвольте нашому радникові вибрати біти, щоб описати, скільки машин Тьюрінга зупиняється у двійкових, зачекайте, поки стільки зупиняться, і виведіть, що решта не зупиняється.$2^{n}-1$$n$$2^{n}-1$

Цей аргумент є простим варіантом доказу, що константа Хайтена може бути використана для вирішення проблеми зупинки. Що мене здивувало - це різко. Немає обчислювальної карти з опису машин Тьюрінга та n -бітової поради до 2 n біт зупинки виходу, які отримують правильну відповідь, для кожного пакету машин Тьюрінга, для деякого пакету біт. Якби вони були, ми могли б створити контрприклад шляхом діагоналізації, причому кожен з 2 n машин Тюрінга моделює те, що програма робить на одному з 2 n можливих розташувань n біт, а потім вибирає власний стан зупинки для порушення прогнозу.$2^n$$n$$2^n$$2^n$$2^n$$n$

Неможливо стиснути інформацію про проблему зупинки машин Тьюрінга з оракулом, що зупиняється (без доступу до якогось оракула самостійно). Машини можуть просто імітувати те, що ви прогнозуєте на всіх можливих введеннях, ігноруючи ті, де ви не зупиняєтесь, і вибираючи час їх зупинки, щоб дати лексикографічно першу відповідь, яку ви не передбачили на жодному вході.

Це мотивувало мене думати про те, що відбувається з іншими оракулами:

Чи є приклад оракула, коли проблема зупинки машин Тьюрінга з цим оракулом може бути стиснута з проміжною швидкістю росту між лінійним та експоненціальним?

$f(n)$$m$$m$$n$$m$$m$$n$$m$$1$$0$

$n<f(n)<2^{n}-1$$\omega(n)=f(n)=o(2^n)$

$J^A(e)$$e$$A$$e$$J$$J^A(e)$

$A$$h:\mathbb N\to\mathbb N$$e$$J^A(e)\in T_e$$(T_e)_{e\in\mathbb N}$$|T_e|\le h(e)$$e$

$f^A(k,n)=$$n$$k$$0,\dots,n-1$$k$$f^A(k,n)$

$f^A$$A$$g$$f^A(k,n)=J^A(g(k,n))$

$n$$A$$h(e)$$T_e$$e=g(k,n)$$k$

$h$$A$

Це досить хороший кандидат у тому сенсі, що у нас є один напрямок (верхня межа швидкості росту), і що, очевидно, метод, за допомогою якого ми отримали верхню межу, не дає значно меншої верхньої межі, ніж це.